Επίλυση 2x-5=sqrt{x^2-7}

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}-7}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}-7.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Προσθήκη 7 και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

Προσθέστε 25 και 7 για να λάβετε 32.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+32. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 96.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -20.

$$a=-12 b=-8$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-20x+32 ως \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -8 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και 3x-8=0.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

Αντικαταστήστε το x με 4 στην εξίσωση 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=4 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{8}{3} στην εξίσωση 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{8}{3} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Λίστα όλων των λύσεων για το 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$