Επίλυση 2x(x-3)+(x+5)=0

$$2 x ( x - 3 ) + ( x + 5 ) = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{15}i}{4}\approx 1,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+5}{4}\approx 1,25-0,968245837i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x-3.

$$2x^{2}-6x+x+5=0$$

Συνδυάστε το -6x και το x για να λάβετε -5x.

$$2x^{2}-5x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -5 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 5}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-40}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 25 και το -40.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -15.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{15}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±\sqrt{15}i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+\sqrt{15}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±\sqrt{15}i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{15} από 5.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+5}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i+5}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x-3.

$$2x^{2}-6x+x+5=0$$

Συνδυάστε το -6x και το x για να λάβετε -5x.

$$2x^{2}-5x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$2x^{2}-5x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{2} και το \frac{25}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{15}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Προσθέστε \frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i+5}{4}$$