Επίλυση 2x^2-19x-10=0

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -19.

$$a=-20 b=1$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-19x-10 ως \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right).

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση 2x^{2}-20x.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και 2x+1=0.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -19 και το c με -10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -19 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 361 και το 80.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -19 είναι 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{19±21}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 19 και το 21.

$$x=\frac{40}{4}$$

Διαιρέστε το 40 με το 4.

$$x=10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{19±21}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 19.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Προσθέστε 10 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Η αφαίρεση του -10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

Αφαιρέστε -10 από 0.

$$2x^{2}-19x=10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το 10 με το 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

Διαιρέστε το -\frac{19}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{19}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{19}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{19}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

Προσθέστε το 5 και το \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Προσθέστε \frac{19}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$