Επίλυση 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -15 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 225 και το 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{233} από 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{15}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το \frac{225}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Προσθέστε \frac{15}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$