Επίλυση 2x^2-15x=-7

$$2 x ^ { 2 } - 15 x = - 7$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 7 και στις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-15 ab=2\times 7=14$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -15.

$$a=-14 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-15x+7 ως \left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(2x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και 2x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Η αφαίρεση του -7 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=0$$

Αφαιρέστε -7 από 0.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -15 και το c με 7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\times 7}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-56}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 225 και το -56.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±13}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±13}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{15±13}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±13}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το 13.

$$x=\frac{28}{4}$$

Διαιρέστε το 28 με το 4.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±13}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 15.

$$x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{15}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{225}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{2} και το \frac{225}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{169}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{13}{4}$$

Προσθέστε \frac{15}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$