Επίλυση 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2,75-0,661437828i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -11 και το c με 16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 121 και το -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{7} από 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Η αφαίρεση του 16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το -16 με το 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Προσθέστε το -8 και το \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Προσθέστε \frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$