Επίλυση 2x^2+4x-2leq0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 2 \leq 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 2 για a, 4 για b και -2 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\right)\leq 0$$

Για να είναι το γινόμενο ≤0, μία από τις τιμές x-\left(\sqrt{2}-1\right) και x-\left(-\sqrt{2}-1\right) πρέπει να είναι ≥0 και η άλλη πρέπει να είναι ≤0. Εξετάστε το ενδεχόμενο όπου x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 και x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Εξετάστε το ενδεχόμενο όπου x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0 και x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0.

$$x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left[-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$