Επίλυση 2-3x(4-x)=x^2-16

$$2 - 3 x ( 4 - x ) = x ^ { 2 } - 16$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}=-16$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}+16=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -3x με το 4-x.

$$2-12x+3x^{2}-x^{2}+16=0$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2-12x+2x^{2}+16=0$$

Προσθέστε 2 και 16 για να λάβετε 18.

$$18-12x+2x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$9-6x+x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -6.

$$a=-3 b=-3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-6x+9 ως \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το x-3=0.

$$x=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}=-16$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}+16=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -3x με το 4-x.

$$2-12x+3x^{2}-x^{2}+16=0$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2-12x+2x^{2}+16=0$$

Προσθέστε 2 και 16 για να λάβετε 18.

$$18-12x+2x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-12x+18=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -12 και το c με 18 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\times 18}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 18.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 144 και το -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{12}{4}$$

Διαιρέστε το 12 με το 4.

$$x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2-3x\left(4-x\right)-x^{2}=-16$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -3x με το 4-x.

$$2-12x+3x^{2}-x^{2}=-16$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2-12x+2x^{2}=-16$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$-12x+2x^{2}=-16-2$$

Αφαιρέστε 2 από -16 για να λάβετε -18.

$$-12x+2x^{2}=-18$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-12x=-18$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-12x}{2}=-\frac{18}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)x=-\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το -12 με το 2.

$$x^{2}-6x=-\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το -18 με το 2.

$$x^{2}-6x=-9$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Προσθέστε το -9 και το 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Παραγον x^{2}-6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-3=0 x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=3$$