Επίλυση 2x^2+5x-168=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-168. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -336.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-16 b=21$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+5x-168 ως \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 21 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και 2x+21=0.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 5 και το c με -168 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 25 και το 1344.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1369.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±37}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 37.

$$x=\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το 32 με το 4.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±37}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 37 από -5.

$$x=-\frac{42}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-42}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Προσθέστε 168 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

Η αφαίρεση του -168 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

Αφαιρέστε -168 από 0.

$$2x^{2}+5x=168$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

Διαιρέστε το 168 με το 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

Διαιρέστε το \frac{5}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

Προσθέστε το 84 και το \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$