Επίλυση 19x^2-15x+45=0

$$19 x ^ { 2 } - 15 x + 45 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}\approx 0,394736842+1,487482396i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}\approx 0,394736842-1,487482396i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 19, το b με -15 και το c με 45 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 19.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-76\times 45}}{2\times 19}$$

Πολλαπλασιάστε το -76 επί 45.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-3420}}{2\times 19}$$

Προσθέστε το 225 και το -3420.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-3195}}{2\times 19}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -3195.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 19.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το 3i\sqrt{355}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3i\sqrt{355} από 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Αφαιρέστε 45 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$19x^{2}-15x+45-45=-45$$

Η αφαίρεση του 45 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$19x^{2}-15x=-45$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 19.

$$\frac{19x^{2}-15x}{19}=-\frac{45}{19}$$

Η διαίρεση με το 19 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 19.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x=-\frac{45}{19}$$

Διαιρέστε το -\frac{15}{19}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{38}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{38} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{45}{19}+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{38} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{45}{19}+\frac{225}{1444}$$

Προσθέστε το -\frac{45}{19} και το \frac{225}{1444} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{3195}{1444}$$

Παραγον x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{3195}{1444}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3195}{1444}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{38}=\frac{3\sqrt{355}i}{38} x-\frac{15}{38}=-\frac{3\sqrt{355}i}{38}$$

Προσθέστε \frac{15}{38} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$