Επίλυση 18x+11y=522text{and}10x=112-16y

$$18 x + 11 y = 522 \text { and } 10 x = 112 - 16 y$$

Λύση ως προς x, y

$$x=40$$

$$y=-18$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Προσθήκη 16y και στις δύο πλευρές.

$$10x+16y=112$$

Για λύσετε ένα ζεύγος εξισώσεων χρησιμοποιώντας αντικατάσταση, πρώτα λύστε μία από τις εξισώσεις ως προς μία από τις μεταβλητές. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το αποτέλεσμα για αυτή τη μεταβλητή στην άλλη εξίσωση.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις και λύστε την ως προς x, απομονώνοντας το x στην αριστερή πλευρά του ίσον.

$$18x+11y=522$$

Αφαιρέστε 11y και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$18x=-11y+522$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(-11y+522\right)$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{18} επί -11y+522.

$$x=-\frac{11}{18}y+29$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{11y}{18}+29 στην άλλη εξίσωση, 10x+16y=112.

$$10\left(-\frac{11}{18}y+29\right)+16y=112$$

Πολλαπλασιάστε το 10 επί -\frac{11y}{18}+29.

$$-\frac{55}{9}y+290+16y=112$$

Προσθέστε το -\frac{55y}{9} και το 16y.

$$\frac{89}{9}y+290=112$$

Αφαιρέστε 290 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\frac{89}{9}y=-178$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \frac{89}{9}, το οποίο είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζατε και τις δύο πλευρές με το αντίστροφο κλάσμα.

$$y=-18$$

Αντικαταστήστε το y με -18 στην x=-\frac{11}{18}y+29. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x=-\frac{11}{18}\left(-18\right)+29$$

Πολλαπλασιάστε το -\frac{11}{18} επί -18.

$$x=11+29$$

Προσθέστε το 29 και το 11.

$$x=40$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=40,y=-18$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Προσθήκη 16y και στις δύο πλευρές.

$$10x+16y=112$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Για τη μήτρα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πίνακα μπορεί να ξαναγραφεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{18\times 16-11\times 10}&-\frac{11}{18\times 16-11\times 10}\\-\frac{10}{18\times 16-11\times 10}&\frac{18}{18\times 16-11\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}&-\frac{11}{178}\\-\frac{5}{89}&\frac{9}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}\times 522-\frac{11}{178}\times 112\\-\frac{5}{89}\times 522+\frac{9}{89}\times 112\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-18\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα x και y.

$$x=40,y=-18$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Προσθήκη 16y και στις δύο πλευρές.

$$10x+16y=112$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Για να κάνετε τα 18x και 10x ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με 10 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 18.

$$10\times 18x+10\times 11y=10\times 522,18\times 10x+18\times 16y=18\times 112$$

Απλοποιήστε.

$$180x+110y=5220,180x+288y=2016$$

Αφαιρέστε 180x+288y=2016 από 180x+110y=5220 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$180x-180x+110y-288y=5220-2016$$

Προσθέστε το 180x και το -180x. Οι όροι 180x και -180x απαλείφονται, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$110y-288y=5220-2016$$

Προσθέστε το 110y και το -288y.

$$-178y=5220-2016$$

Προσθέστε το 5220 και το -2016.

$$-178y=3204$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -178.

$$y=-18$$

Αντικαταστήστε το y με -18 στην 10x+16y=112. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$10x+16\left(-18\right)=112$$

Πολλαπλασιάστε το 16 επί -18.

$$10x-288=112$$

Προσθέστε 288 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$10x=400$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 10.

$$x=40$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=40,y=-18$$