Επίλυση 16x^2-8x-3=

$$16 x ^ { 2 } - 8 x - 3 =$$

Παράγοντας

$$\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 16x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-12 b=4$$

Γράψτε πάλι το 16x^{2}-8x-3 ως \left(16x^{2}-12x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(4x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην εξίσωση 16x^{2}-12x.

$$4x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}-8x-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -64 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Προσθέστε το 64 και το 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\times 16}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±16}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 16.

$$x=\frac{8±16}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±16}{32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 16.

$$x=\frac{24}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{24}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±16}{32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από 8.

$$x=-\frac{8}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{4} με το x_{1} και το -\frac{1}{4} με το x_{2}.

$$16x^{2}-8x-3=16\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$16x^{2}-8x-3=16\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$16x^{2}-8x-3=16\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$16x^{2}-8x-3=16\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{4x+1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4x-3}{4} επί \frac{4x+1}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$16x^{2}-8x-3=16\times \frac{\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)}{4\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 4.

$$16x^{2}-8x-3=16\times \frac{\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)}{16}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 16 σε 16 και 16.

$$16x^{2}-8x-3=\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$