Επίλυση 15p^2+7p-2

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Παράγοντας

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15p^{2}+ap+bp-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-3 b=10$$

Γράψτε πάλι το 15p^{2}+7p-2 ως \left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right).

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3p στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5p-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -2.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 49 και το 120.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{-7±13}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 13.

$$p=\frac{6}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$p=\frac{1}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{-7±13}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -7.

$$p=-\frac{20}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{5} με το x_{1} και το -\frac{2}{3} με το x_{2}.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Αφαιρέστε p από \frac{1}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το p βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5p-1}{5} επί \frac{3p+2}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 3.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 15 σε 15 και 15.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$