Επίλυση 14x+105=x^2+15x

$$14 x + 105 = x ^ { 2 } + 15 x$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{421} - 1}{2} \approx 9,759142264$$

$$x=\frac{-\sqrt{421}-1}{2}\approx -10,759142264$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$14x+105-x^{2}=15x$$

Αφαιρέστε 15x και από τις δύο πλευρές.

$$14x+105-x^{2}-15x=0$$

Συνδυάστε το 14x και το -15x για να λάβετε -x.

$$-x+105-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}-x+105=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -1 και το c με 105 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 105}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 105}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 105.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+420}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 420.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{421}}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{421}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{421}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±\sqrt{421}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το \sqrt{421}.

$$x=\frac{\sqrt{421}+1}{-2}$$

Διαιρέστε το 1+\sqrt{421} με το -2.

$$x=\frac{-\sqrt{421}-1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±\sqrt{421}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{421} από 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{421}}{-2}$$

Διαιρέστε το 1-\sqrt{421} με το -2.

$$x=\frac{\sqrt{421}-1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{421}-1}{2} x=\frac{\sqrt{421}-1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$14x+105-x^{2}=15x$$

Αφαιρέστε 15x και από τις δύο πλευρές.

$$14x+105-x^{2}-15x=0$$

Συνδυάστε το 14x και το -15x για να λάβετε -x.

$$-x+105-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 105 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-x-x^{2}=-105$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x=-105$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{105}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{105}{-1}$$

Διαιρέστε το -1 με το -1.

$$x^{2}+x=-\frac{105}{-1}$$

Διαιρέστε το -105 με το -1.

$$x^{2}+x=105$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=105+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=105+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 105 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{421}{4}$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{421}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{421}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{421}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{421}}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{421}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{421}-1}{2}$$