Επίλυση 12n^2-50n+50

$$12 n ^ { 2 } - 50 n + 50$$

Παράγοντας

$$2\left(2n-5\right)\left(3n-5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 2.

$$2\left(6n^{2}-25n+25\right)$$

Υπολογίστε 6n^{2}-25n+25. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6n^{2}+an+bn+25. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-25 ab=6\times 25=150$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 150.

$$-1,-150 -2,-75 -3,-50 -5,-30 -6,-25 -10,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-150=-151 -2-75=-77 -3-50=-53 -5-30=-35 -6-25=-31 -10-15=-25$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -25.

$$a=-15 b=-10$$

Γράψτε πάλι το 6n^{2}-25n+25 ως \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-10n+25\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-10n+25\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3n στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$3n\left(2n-5\right)-5\left(2n-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2n-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-5\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$2\left(2n-5\right)\left(3n-5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12n^{2}-50n+50=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\times 12\times 50}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -50 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\times 12\times 50}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$n=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-48\times 50}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 50.

$$n=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-2400}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 2500 και το -2400.

$$n=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{100}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$n=\frac{-\left(-50\right)±10}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -50 είναι 50.

$$n=\frac{50±10}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$n=\frac{50±10}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{50±10}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 50 και το 10.

$$n=\frac{60}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{60}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$n=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{50±10}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 50.

$$n=\frac{40}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{40}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$n=\frac{5}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{2} με το x_{1} και το \frac{5}{3} με το x_{2}.

$$12n^{2}-50n+50=12\left(n-\frac{5}{2}\right)\left(n-\frac{5}{3}\right)$$

Αφαιρέστε n από \frac{5}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12n^{2}-50n+50=12\times \frac{2n-5}{2}\left(n-\frac{5}{3}\right)$$

Αφαιρέστε n από \frac{5}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12n^{2}-50n+50=12\times \frac{2n-5}{2}\times \frac{3n-5}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2n-5}{2} επί \frac{3n-5}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12n^{2}-50n+50=12\times \frac{\left(2n-5\right)\left(3n-5\right)}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$12n^{2}-50n+50=12\times \frac{\left(2n-5\right)\left(3n-5\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 12 και 6.

$$12n^{2}-50n+50=2\left(2n-5\right)\left(3n-5\right)$$

Υπολογισμός

$$12n^{2}-50n+50$$