Επίλυση 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=6 b=6$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+12x+9 ως \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 12, το b με 36 και το c με 27 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 36 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 1296 και το -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Αφαιρέστε 27 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Η αφαίρεση του 27 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

Η διαίρεση με το 12 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Διαιρέστε το 36 με το 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-27}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{9}{4} και το \frac{9}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Παραγον x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=-\frac{3}{2}$$