Επίλυση 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 11 για a, -9 για b και 1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Για να είναι το γινόμενο θετικό, τα x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} και x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} πρέπει να είναι και τα δύο αρνητικά ή και τα δύο θετικά. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν τα x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} και x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} είναι και τα δύο αρνητικά.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν τα x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} και x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} είναι τα δύο θετικά.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$