Επίλυση 100sqrt{x}=2x+100

$$100 \sqrt{ x } = 2x+100$$

Λύση ως προς x

$$x=1200-250\sqrt{23}\approx 1,042119172$$

$$x=250\sqrt{23}+1200\approx 2398,957880828$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(100\sqrt{x}\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(100\sqrt{x}\right)^{2}.

$$100^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 100στη δύναμη του 2 και λάβετε 10000.

$$10000\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$10000x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+100\right)^{2}.

$$10000x=4x^{2}+400x+10000$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10000x-4x^{2}=400x+10000$$

Αφαιρέστε 400x και από τις δύο πλευρές.

$$10000x-4x^{2}-400x=10000$$

Συνδυάστε το 10000x και το -400x για να λάβετε 9600x.

$$9600x-4x^{2}=10000$$

Αφαιρέστε 10000 και από τις δύο πλευρές.

$$9600x-4x^{2}-10000=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-4x^{2}+9600x-10000=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -4, το b με 9600 και το c με -10000 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{9600^{2}-4\left(-4\right)\left(-10000\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Υψώστε το 9600 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{92160000-4\left(-4\right)\left(-10000\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{92160000+16\left(-10000\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 16 επί -10000.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{92160000-160000}}{2\left(-4\right)}$$

Προσθέστε το 92160000 και το -160000.

$$x=\frac{-9600±\sqrt{92000000}}{2\left(-4\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 92000000.

$$x=\frac{-9600±2000\sqrt{23}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -4.

$$x=\frac{-9600±2000\sqrt{23}}{-8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9600±2000\sqrt{23}}{-8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9600 και το 2000\sqrt{23}.

$$x=\frac{2000\sqrt{23}-9600}{-8}$$

Διαιρέστε το -9600+2000\sqrt{23} με το -8.

$$x=1200-250\sqrt{23}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9600±2000\sqrt{23}}{-8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2000\sqrt{23} από -9600.

$$x=\frac{-2000\sqrt{23}-9600}{-8}$$

Διαιρέστε το -9600-2000\sqrt{23} με το -8.

$$x=250\sqrt{23}+1200$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1200-250\sqrt{23} x=250\sqrt{23}+1200$$

Αντικαταστήστε το x με 1200-250\sqrt{23} στην εξίσωση 100\sqrt{x}=2x+100.

$$100\sqrt{1200-250\sqrt{23}}=2\left(1200-250\sqrt{23}\right)+100$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1200-250\sqrt{23} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2500-500\times 23^{\frac{1}{2}}=2500-500\times 23^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με 250\sqrt{23}+1200 στην εξίσωση 100\sqrt{x}=2x+100.

$$100\sqrt{250\sqrt{23}+1200}=2\left(250\sqrt{23}+1200\right)+100$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=250\sqrt{23}+1200 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2500+500\times 23^{\frac{1}{2}}=500\times 23^{\frac{1}{2}}+2500$$

Λίστα όλων των λύσεων για το 100\sqrt{x}=2x+100.

$$x=1200-250\sqrt{23} x=250\sqrt{23}+1200$$