Επίλυση 10n^2+53n+36

$$10 n ^ { 2 } + 53 n + 36$$

Παράγοντας

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10n^{2}+an+bn+36. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=53 ab=10\times 36=360$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 53.

$$a=8 b=45$$

Γράψτε πάλι το 10n^{2}+53n+36 ως \left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right).

$$\left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2n στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$2n\left(5n+4\right)+9\left(5n+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5n+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10n^{2}+53n+36=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 53 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-40\times 36}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί 36.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-1440}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 2809 και το -1440.

$$n=\frac{-53±\sqrt{1369}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1369.

$$n=\frac{-53±37}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$n=\frac{-53±37}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-53±37}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -53 και το 37.

$$n=-\frac{16}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$n=-\frac{4}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-53±37}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 37 από -53.

$$n=-\frac{90}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-90}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{4}{5} με το x_{1} και το -\frac{9}{2} με το x_{2}.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n+\frac{4}{5}\right)\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{5} και το n βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{9}{2} και το n βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\times \frac{2n+9}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5n+4}{5} επί \frac{2n+9}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{5\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 2.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε 10 και 10.

$$10n^{2}+53n+36=\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$