Επίλυση 10c^2-19c-15

$$10 c ^ { 2 } - 19 c - 15$$

Παράγοντας

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10c^{2}+ac+bc-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-19 ab=10\left(-15\right)=-150$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -150.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -19.

$$a=-25 b=6$$

Γράψτε πάλι το 10c^{2}-19c-15 ως \left(10c^{2}-25c\right)+\left(6c-15\right).

$$\left(10c^{2}-25c\right)+\left(6c-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5c στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$5c\left(2c-5\right)+3\left(2c-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2c-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10c^{2}-19c-15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Υψώστε το -19 στο τετράγωνο.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-40\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί -15.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+600}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 361 και το 600.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{961}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 961.

$$c=\frac{-\left(-19\right)±31}{2\times 10}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -19 είναι 19.

$$c=\frac{19±31}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$c=\frac{19±31}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση c=\frac{19±31}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 19 και το 31.

$$c=\frac{50}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{50}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$c=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση c=\frac{19±31}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 31 από 19.

$$c=-\frac{12}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$c=-\frac{3}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{2} με το x_{1} και το -\frac{3}{5} με το x_{2}.

$$10c^{2}-19c-15=10\left(c-\frac{5}{2}\right)\left(c-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$10c^{2}-19c-15=10\left(c-\frac{5}{2}\right)\left(c+\frac{3}{5}\right)$$

Αφαιρέστε c από \frac{5}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{2c-5}{2}\left(c+\frac{3}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{5} και το c βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{2c-5}{2}\times \frac{5c+3}{5}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2c-5}{2} επί \frac{5c+3}{5} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$10c^{2}-19c-15=10\times \frac{\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε 10 και 10.

$$10c^{2}-19c-15=\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2c-5\right)\left(5c+3\right)$$