Επίλυση -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 16 και το c με 128 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 256 και το 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Διαιρέστε το -16+16\sqrt{7} με το -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16\sqrt{7} από -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Διαιρέστε το -16-16\sqrt{7} με το -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Αφαιρέστε 128 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Η αφαίρεση του 128 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Διαιρέστε το 16 με το -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Διαιρέστε το -128 με το -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{16}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{8}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{8}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{8}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Προσθέστε το \frac{128}{3} και το \frac{64}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Προσθέστε \frac{8}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$