Επίλυση -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -14x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=8 b=-7$$

Γράψτε πάλι το -14x^{2}+x+4 ως \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση -14x^{2}+8x.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -7x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -7x+4=0 και 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -14, το b με 1 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 56 επί 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±15}{-28} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{-28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±15}{-28} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 15 από -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{-28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{4}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

Η αφαίρεση του 4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Η διαίρεση με το -14 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -14.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Διαιρέστε το 1 με το -14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{-14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{14}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{28}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{28} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{28} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Προσθέστε το \frac{2}{7} και το \frac{1}{784} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Προσθέστε \frac{1}{28} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$