Στα μαθηματικά, τα πολυώνυμα είναι η απλούστερη τάξη μαθηματικών παραστάσεων. Ένα πολυώνυμο είναι μια έκφραση κατασκευασμένη από μεταβλητές και σταθερές, χρησιμοποιώντας μόνο τις πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, και μη αρνητικών ακεραίων δυνάμεων. Ωστόσο, επιτρέπεται η διαίρεση με σταθερά, επειδή η πολλαπλασιαστική αντιστροφή μιας μη μηδενικής σταθεράς είναι επίσης σταθερά. Για παράδειγμα, x² − x/4 + 7 είναι ένα πολυώνυμο, αλλά x² − 4/x + 7x³⸍² είναι μια αλγεβρική παράσταση που δεν είναι πολυώνυμο, επειδή ο δεύτερος όρος περιέχει μια διαίρεση με την μεταβλητή x, και επίσης επειδή ο τρίτος όρος περιέχει έναν εκθέτη που δεν είναι μη αρνητικός ακέραιος. Η λέξη πολυώνυμο προέρχεται από το Ελληνικό πολύ, και το Λατινικό binomium, «binomial». Η λέξη εισήχθηκε στην λατινική γλώσσα από τον Φραγκίσκο Βιετά. Μία πολυωνυμική συνάρτηση είναι μία συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα πολυώνυμο. Μερικές φορές, ο όρος πολυώνυμο αφορά τα πολυώνυμα που είναι αναλυτικά γραμμένα ως το άθροισμα (ή την διαφορά) των όρων περιλαμβάνοντας μόνο πολλαπλασιασμούς και δυνάμεις με μη μηδενικούς ακέραιους εκθέτες. Σε αυτήν την περίπτωση, τα άλλα πολυώνυμα ονομάζονται πολυωνυμικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, displaystyle(x-y)² είναι μία μαθηματική παράσταση που αντιπροσωπεύει το ίδιο πράγμα με το πολυώνυμο displaystylex²-2xy+y². Ο όρος "πολυώνυμο", σαν ουσιαστικό, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για ποσότητες που μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα κάποιων παραμέτρων, όπως στον πολυωνυμικό χρόνο, που χρησιμοποιείται στην θεωρία πολυπλοκότητας. Τα πολυώνυμα εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της επιστήμης. Για παράδειγμα, με πολυωνυμικές εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν αρκετά προβλήματα από την χημεία και φυσική ως τα οικονομικά και την κοινωνιολογία. Επίσης στην μαθηματική ανάλυση και την αριθμητική ανάλυση τα πολυώνυμα χρησιμοπιούνται για την προσέγγιση άλλων συναρτήσεων. Στα ανώτερα μαθηματικά, τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή πολυωνυμικών δακτυλίων, μία βασική διαδικασία στην άλγεβρα και την αλγεβρική γεωμετρία. Αυτοί οι πολυωνυμικοί δακτύλιοι με την σειρά τους βρίσκουν εφαρμογές στην κρυπτογραφία και την θεωρία κωδικοποίησης. Μονώνυμο είναι το γινόμενο μιας σταθεράς με μια μεταβλητή υψωμένη σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη, π.χ. displaystyle3cdotx⁵. Η σταθερά ονομάζεται σταθερό μέρος ή συντελεστής, ενώ η υψωμένη μεταβλητή μεταβλητό μέρος. Ως μονώνυμο, επίσης, ορίζεται και οποιαδήποτε σταθερά. Πολυώνυμο είναι αλγεβρική παράσταση σταθερών και μιας μεταβλητής που συνδέονται μεταξύ τους μόνο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ενώ η μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται υψωμένη σε διάφορες φυσικές δυνάμεις. Ουσιαστικά το πολυώνυμο είναι άθροισμα μονωνύμων της ίδιας μεταβλητής. Κάθε δύναμη εμφανίζεται μία φορά στο πολυώνυμο, δηλαδή στην τελική μορφή του αθροίσματος δεν εμφανίζονται δύο μονώνυμα με την ίδια δύναμη της μεταβλητής. Οι συντελεστές των μονωνύμων θεωρούνται και ως συντελεστές του πολυωνύμου. Συνήθως το πολυώνυμο της μεταβλητής displaystyle x συμβολίζεται με displaystyleP(x). Οι συντελεστές συμβολίζονται με ένα γράμμα με δείκτη συνήθως τη δύναμη της μεταβλητής που συνοδεύει. Ο σταθερός όρος έχει συνήθως δείκτη μηδέν. Έτσι, η γενική μορφή του πολυωνύμου είναι: displaystyleP(x)=aⁿcdotxⁿ+aⁿ⁻¹cdotxⁿ⁻¹+ldots+aₖcdotxᵏ+ldots+a₁cdotx¹+a₀. Σταθερό πολυώνυμο θεωρείται μια οποιαδήποτε σταθερά, ενώ αν η σταθερά είναι μηδέν, τότε το πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο συμβολίζεται με displaystylemathbf0, το οποίο είναι πάντα έντονα γραμμένο για να διακρίνεται από τον αριθμό μηδέν. Βαθμός του πολυωνύμου ονομάζεται η μέγιστη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή. Σε σταθερό πολυώνυμο ορίζεται ως βαθμός του πολυωνύμου το μηδέν, ενώ σε μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Ο βαθμός του πολυωνύμου displaystyleP(x) συμβολίζεται με displaystyleoperatornamedegP(x). Πλήρες πολυώνυμο ονομάζεται ένα στο οποίο displaystylea₀neq0,ldots,aₙneq0, διαφορετικά λέγεται ελλιπές. Για παράδειγμα, displaystyleP(x)=2x³+x²+4x-2 είναι πλήρες ενώ το displaystyleP(x)=2x³+4x-2 είναι ελλιπές. Ορισμένες εξαιρέσεις στους παραπάνω ορισμούς οφείλονται στο γεγονός ότι το displaystyle0⁰ δεν ορίζεται, αλλά οι ιδιότητες των πολυωνύμων θέλουμε να ισχύουν για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, ακόμα και για το μηδέν. Προσέξτε ότι στη γενική μορφή του πολυωνύμου ο τελευταίος όρος δεν είναι displaystylea₀x⁰, αλλά displaystylea₀. Πραγματικό πολυώνυμο είναι ένα πολυώνυμο όπου όλοι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί. Σε ένα πραγματικό πολυώνυμο οι μεταβλητές μπορεί να παίρνουν είτε πραγματικές είτε μιγαδικές τιμές, αλλά μία πραγματική πολυωνυμική συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού τους πραγματικούς αριθμούς. Αντίστοιχα ένα ακέραιο πολυώνυμο έχει συντελεστές που είναι ακέραιοι και ένα μιγαδικό πολυώνυμο έχει συντελεστές που είναι μιγαδικοί. Ένα πολυώνυμο είτε θα είναι μηδενικό είτε θα γράφεται σαν το άθροισμα πεπερασμένου αριθμού μη μηδενικών όρων. κάθε όρος αποτελείται από μια σταθερά και ένα πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών, επίσης ονομάζονται άγνωστοι, υψωμένες σε όλες τις δυνάμεις αριθμών. ο εκθέτης μιας μεταβλητής σε έναν όρο ονομάζεται βαθμός της μεταβλητής; ο βαθμός του όρου είναι το άθροισμα των βαθμών των μεταβλητών του όρου, και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος βαθμός απ όλους τους όρους. Ο βαθμός μιας μεταβλητής χωρίς εκθέτη είναι ένα. Ένας όρος χωρίς μεταβλητές ονομάζεται σταθερός όρος, η απλά σταθερά; ο βαθμός μιας σταθεράς είναι 0. Ο συντελεστής ενός όρου μπορεί να είναι κάθε αριθμός από ένα ορισμένο σύνολο. Αν αυτό είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, μιλάμε για «πολυώνυμα πάνω απ τους πραγματικούς». Άλλα παρόμοια είδη πολυωνύμων είναι πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές, και πολυώνυμα που οι συντελεστές τους είναι ακέραιοι modulo κάποιου πρώτου αριθμού p. Στα περισσότερα παραδείγματα που θα δούμε οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Για παράδειγμα: displaystyle-5x²y, είναι ένας όρος. Ο συντελεστής του είναι displaystyle-5, οι μεταβλητές είναι οι displaystyle x και displaystyle y, ο βαθμός του displaystyle x είναι displaystyle2, ενώ ο βαθμός του displaystyle y είναι ένα. Ο βαθμός του όρου είναι το άθροισμα των βαθμών των δύο μεταβλητών, έτσι έχουμε displaystyle2+1=3. Το άθροισμα πολλών όρων μαζί μας δίνει ένα πολυώνυμο. Για παράδειγμα, το παρακάτω είναι ένα πολυώνυμο: displaystyleunderbrace3x²₁ₜₑₓₜος όροςquadunderbrace-,5x₂ₜₑₓₜος όροςquadunderbrace+,4₃ₜₑₓₜος όρος. Αποτελείται από τρεις όρους: ο πρώτος είναι βαθμού 2, ο δεύτερος έχει βαθμό 1, και ο τρίτος είναι μηδενικού βαθμού. Η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βάλουμε τους όρους στην κατάλληλη σειρά. Σε πολυώνυμα μιας μεταβλητής, οι όροι συνήθως τοποθετούνται ανάλογα με τον βαθμό, είτε «μειώνοντας τις δυνάμεις του displaystyle x», με τον όρο με τη μεγαλύτερη δύναμη πρώτο, είτε «αυξάνοντας τις δυνάμεις του displaystyle x». Το πολυώνυμο στο προηγούμενο παράδειγμα είναι γραμμένο μειώνοντας τις δυνάμεις του displaystyle x. Ο πρώτος όρος έχει συντελεστή 3, μεταβλητή displaystyle x, και εκθέτη 2. Στον δεύτερο όρο, ο συντελεστής είναι –5. Ο τρίτος όρος είναι σταθερά. Αφού o βαθμός ενός μη μηδενικού πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος απ του βαθμούς των όρων, αυτό το πολυώνυμο έχει βαθμό 2. Δύο όροι με την ίδια μεταβλητή υψωμένοι στην ίδια δύναμη ονομάζονται όμοιοι όροι, και μπορούν να συνδυαστούν, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, σε έναν όρο του οποίου οι συντελεστές είναι το άθροισμα των συντελεστών των όρων που συνδυάστηκαν. Αυτό μπορεί να κάνει τον συντελεστή 0. Γενικά κάθε παράσταση μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο αν αποτελείται από μεταβλητές και σταθερές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, και δυνάμεις αριθμών. Έτσι ώστε να μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα όρων. Για παράδειγμα, (x + 1)³ είναι ένα πολυώνυμο; με κανονική μορφή is x³ + 3x² + 3x + 1. Ωστόσο, σε κάποιες περιπτώσεις, χρειάζεται μία πιο ακριβείς ορολογία για να μην υπάρχουν παρανοήσεις. Σε μια τέτοια περίπτωση, μπορούμε να πούμε: (x + 1)³ είναι μια πολυωνυμική παράσταση που μπορεί να επεκταθεί ή να ξαναγραφεί στο πολυώνυμο x³ + 3x² + 3x + 1. Παρ όλες τις διαφορές σαν εκφράσεις, είναι ίσες στον δακτύλιο των πολυωνύμων με άγνωστο x και ακέραιους συντελεστές. Μία πολυωνυμική συνάρτηση είναι μία πράξη η οποία μπορεί να προσδιοριστεί αξιολογώντας ένα πολυώνυμο. Μία συνάρτηση ƒ μιας μεταβλητής καλείται πολυωνυμική πράξη εάν ικανοποιεί displaystylef(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+cdots+a₂x²+a₁x+a₀, για όλες τις παραμέτρους x, όπου n ένας μη αρνητικός ακέραιος και a₀, a₁,a₂,..., aₙ είναι σταθεροί συντελεστές. Για παράδειγμα, η συνάρτηση ƒ, η οποία αντιστοιχεί πραγματικούς σε πραγματικούς, ορίζεται από displaystylef(x)=x³-x, είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση μιας μεταβλητής. Πολυωνυμικές συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών μπορούν επίσης να προσδιοριστούν, χρησιμοποιώντας πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών, όπως displaystylef(x,y)=2x³+4x²y+xy⁵+y²-7. Ένα παράδειγμα είναι επίσης displaystylef(x)=cos(2arccos(x)) η οποία, παρ'όλο που δεν μοιάζει με πολυώνυμο, είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση αφού για κάθε x ισχύει displaystylef(x)=2x²-1 (δείτε πολυώνυμα Chebyshev). Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι μία κατηγορία συναρτήσεων που έχουν πολλές σημαντικές ιδιότητες. Είναι όλες συνεχείς, ομαλές, πλήρεις, υπολογίσιμες, κτλ. Τα πολυώνυμα μπορούν να προστεθούν χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, ανακατατάσσοντας τους όρους, και συνδυάζοντας τους όμοιους. Για παράδειγμα, αν displaystyleP(x,y)=3x²-2x+5xy-2, displaystyleQ(x,y)=-3x²+3x+4y²+8, τότε displaystyle(P+Q)(x,y)=3x²-2x+5xy-2-3x²+3x+4y²+8, που μπορεί να απλοποιηθεί στο displaystyle(P+Q)(x,y)=x+5xy+4y²+6. Για πολυώνυμα μίας μεταβλητής displaystyleP(x)=sumᵢ₌₀ⁿaᵢxⁱ και displaystyleQ(x)=sumᵢ₌₀ⁿbᵢxⁱ, το άθροισμά τους είναι το πολυώνυμο displaystyleR(x)=sumᵢ₌₀ⁿcᵢxⁱ με συντελεστές displaystylecᵢ=aᵢ+bᵢ για κάθε displaystylei=0,1,ldots,n. Για να υπολογίσουμε το γινόμενο δύο πολυωνύμων, εφαρμόζουμε επανειλημμένα την επιμεριστική ιδιότητα, τα αποτελέσματα της οποίας σε κάθε όρο ενός πολυωνύμου πολλαπλασιάζονται με κάθε όρο του άλλου. Για παράδειγμα, αν displaystylecolorBrickRedP(x,y)=2x+3y+5 displaystylecolorRoyalBlueQ(x,y)=2x+5y+xy+1, τότε displaystylebeginarrayrccrcrcrcr(colorBrickRedPcolorRoyalBlueQ)(x,y)&=&&(colorBrickRed2xcdotcolorRoyalBlue2x)&+&(colorBrickRed2xcdotcolorRoyalBlue5y)&+&(colorBrickRed2xcdotcolorRoyalBluexy)&+&(colorBrickRed2xcdotcolorRoyalBlue1)&&+&(colorBrickRed3ycdotcolorRoyalBlue2x)&+&(colorBrickRed3ycdotcolorRoyalBlue5y)&+&(colorBrickRed3ycdotcolorRoyalBluexy)&+&(colorBrickRed3ycdotcolorRoyalBlue1)&&+&(colorBrickRed5cdotcolorRoyalBlue2x)&+&(colorBrickRed5cdotcolorRoyalBlue5y)&+&(colorBrickRed5cdotcolorRoyalBluexy)&+&(colorBrickRed5cdotcolorRoyalBlue1)endarray που μπορεί να απλοποιηθεί στο displaystyle(PQ)(x,y)=4x²+21xy+2x²y+12x+15y²+3xy²+28y+5. Για πολυώνυμα μίας μεταβλητής displaystyleP(x)=sumᵢ₌₀ⁿaᵢxⁱ και displaystyleQ(x)=sumᵢ₌₀ⁿbᵢxⁱ, το γινόμενό τους είναι το πολυώνυμο displaystyleR(x)=sumᵢ₌₀ⁿcᵢxⁱ με συντελεστές displaystylecᵢ=a₀bᵢ+a₁bᵢ₋₁+ldots+aᵢ₋₁b₁+aᵢb₀ για κάθε displaystylei=0,1,ldots,n. Για τους ακεραίους, υπάρχουν δύο είδη διαιρέσεων για τα πολυώνυμα. Η Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων η οποία είναι γενίκευση της Ευκλείδειας διαίρεσης ακεραίων. Από αυτήν προκύπτουν δύο πολυώνυμα, ένα πηλίκο και ένα υπόλοιπο που έχουν την παρακάτω χαρακτηριστική ιδιότητα των πολυωνύμων: δοθέντων δύο πολυωνύμων a και b έτσι ώστε b ≠ 0, υπάρχει μοναδικό ζευγάρι πολυωνύμων, q, το πηλίκο, και r, το υπόλοιπο, έτσι ώστε a = b q + r και ο βαθμός displaystyleoperatornamedeg(r)<operatornamedeg(b) (το μηδενικό πολυώνυμο θεωρείται ότι έχει αρνητικό βαθμό). Είτε με το χέρι είτε με υπολογιστή, αυτή η διαίρεση μπορεί να γίνει σύμφωνα με τον αλγόριθμο της πολυωνυμικής διαίρεσης. Μία μορφή πηλίκου πολυωνύμων είναι το αλγεβρικό κλάσμα, όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, ονομάζεται «ρητή συνάρτηση» η «ρητό κλάσμα» και δεν είναι, γενικά, πολυώνυμο. Η διαίρεση πολυωνύμου με αριθμό, ωστόσο, δίνει ένα άλλο πολυώνυμο. Για παράδειγμα, displaystylex³/12 είναι ένας κανονικό όρος πολυωνύμου (και ένα πολυώνυμο μόνο του) επειδή είναι ισοδύναμο με το displaystyletfrac112cdotx³ και το displaystyletfrac112 είναι απλά μια σταθερά. Όταν αυτή η παράσταση χρησιμοποιείται σαν όρος, ο συντελεστής της είναι displaystyletfrac112. Για παρόμοιους λόγους, αν υπάρχουν μιγαδικοί συντελεστές, μπορεί να υπάρχει όρος (2 + 3i) x³; παρ όλο που φαίνεται ότι μπορεί να χωριστεί σε δύο όρους, ο μιγαδικός αριθμός 2 + 3i είναι ένα μιγαδικός αριθμός, και είναι ο συντελεστής αυτούς του όρου. Η παράσταση 1/(x² + 1) δεν είναι πολυώνυμο επειδή περιέχει διαίρεση με ένα μη πολυώνυμο. Η παράσταση (5 + y) δεν είναι πολυώνυμο, επειδή χρησιμοποιεί μία μεταβλητή σαν εκθέτη. Αφού η αφαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με την πρόσθεση της αντίθετης ποσότητας, και οι εκθέτες μπορούν να αντικατασταθούν από επαναλαμβανόμενους πολλαπλασιασμούς, όλα τα πολυώνυμα μπορούν να κατασκευαστούν με σταθερές και μεταβλητές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Η σύνθεση δύο πολυωνύμων μίας μεταβλητής είναι ένα πολυώνυμο μίας μεταβλητής. Για παράδειγμα, η σύνθεση των πολυωνύμων displaystyleP(x)=x²+4x+3, και displaystyleQ(x)=x³+1, δίνει το πολυώνυμο displaystyle(Pcirc Q)(x)=(x³+1)²+4cdot(x³+1)+3=(x⁶+2x³+1)+4x³+4+3=x⁶+4x³+8. Η παράγωγος ενός πολυωνύμου displaystyleP(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ldots+a₁x+a₀, είναι το πολυώνυμο displaystylePʼ(x)=ncdotaₙxⁿ⁻¹+(n-1)cdotaₙ₋₁xⁿ⁻²+ldots+2a₂x+a₁. Αν ο δακτύλιος των συντελεστών δεν περιέχει τους ακεραίους, τότε kaₖ πρέπει να ερμηνευθεί ως το άθροισμα του aₖ με τον εαυτό του, k φορές. Για παράδειγμα, πάνω απ τους ακεραίους modulo p, η παράγωγος ενός πολυωνύμου x+1 είναι το πολυώνυμο 0. Η παράγουσα του πολυωνύμου displaystyleP(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ldots+a₁x+a₀, είναι το πολυώνυμο displaystyleQc(x)=fracaₙn+1xⁿ⁺¹+fracaₙ₋₁nxⁿ+ldots+fraca₁2x²+a₀x+c, όπου c είναι μία αυθαίρετη σταθερά. Τα πολυώνυμα στους ακεραίους, δεν έχουνε αναγκαστικά παράγουσα. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο x²+1 δεν έχει παράγουσα στους ακεραίους. Μία πολυωνυμική εξίσωση, καλείται επίσης αλγεβρική εξίσωση, είναι μία εξίσωση στην οποία ένα πολυώνυμο τίθεται ίσο με ένα άλλο πολυώνυμο. Για παράδειγμα, displaystyle3x²+4x-5=0, είναι μία πολυωνυμική εξίσωση. Στην περίπτωση πολυωνυμικής εξίσωσης μίας μεταβλητής, η μεταβλητή θεωρείται ως άγνωστη, και προσπαθούμε να βρούμε τις πιθανές τιμές για τις οποίες και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης είναι ίσα για την ίδια τιμή (γενικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις). Μία πολυωνυμική εξίσωση έρχεται σε αντίθεση με μία πολυωνυμική ταυτότητα όπως (x + y)(x – y) = x² – y², όπου και τα δύο μέλη αντιπροσωπεύουν το ίδιο πολυώνυμο σε διαφορετικές μορφές, και σαν συνέπεια για κάθε τιμή των μεταβλητών displaystyle x και displaystyle y, τα δύο μέλη είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι μια πολυωνυμική ταυτότητα είναι μία πολυωνυμική εξίσωση για την οποία όλες οι πιθανές τιμές των αγνώστων είναι λύσεις. Στην απλή άλγεβρα, δίνονται μέθοδοι για την λύση όλων των πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων μιας μεταβλητής. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια. Για μεγαλύτερης τάξης, το θεώρημα Abel-Ruffini βεβαιώνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει μία γενική μέθοδος. Ωστόσο, μόνο η αριθμητική προσέγγιση των ριζών μπορεί να υπολογιστεί. Ο αριθμός των λύσεων μπορεί να μην υπερβαίνει τον βαθμό του πολυωνύμου, και είναι ίσος με τον βαθμό όταν οι μιγαδικές ρίζες υπολογίζονται με την δική τους πολλαπλότητα. Αυτό το γεγονός ονομάζεται θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. Όλα τα πολυώνυμα έχουν μία εκτεταμένη μορφή, στην οποία η επιμεριστική και προσεταιριστική ιδιότητα χρησιμοποιούνται για να διώξουμε όλα τα κενά και η αντιμεταθετική ιδιότητα χρησιμοποιείται για να φτιάξει τις κατάλληλες συνθήκες για τα επόμενα και να τα συνδυάσει. όλα τα πολυώνυμα με συντελεστές σε μία μοναδική παραγοντοποιήσιμη κατηγορία επίσης έχουν παραγοντοποιημένη μορφή στην οποία το πολυώνυμο είναι γραμμένο ως το παράγωγο ενός αμείωτου πολυώνυμου και μιας σταθεράς. Στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών, τα αμείωτα πολυώνυμα είναι γραμμικά. Για παράδειγμα, η παραγοντοποιημένη μορφή του displaystyle5x³-5 είναι displaystyle5(x-1)(x²+x+1), πάνω απ τους ακεραίους και displaystyle5(x-1)left(x+frac1+isqrt32right)left(x+frac1-isqrt32right) πάνω απ τους μιγαδικούς. Η παραγοντοποιημένη μορφή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου μιας μεταβλητής προσδιορίζεται μοναδικά και έχει την μορφή displaystyleaₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+dotsb+a₂x²+a₁x+a₀, όπου displaystyleaₙneq0. Αυτη η μορφή μερικές φορές θεωρείται ο ορισμός του πολυωνύμου μιας μεταβλητής. Η τιμή ενός πολυωνύμου προϋποθέτει την ανάθεση τιμής σε κάθε μεταβλητή και έπειτα την διεξαγωγή πολλαπλασιασμών και προσθέσεων. Για πολυώνυμα μιας μεταβλητής, η εκτίμηση είναι πιο αποτελεσματική χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner: displaystyle(((dotsb((aₙx+aₙ₋₁)x+aₙ₋₂)x+dotsb+a₃)x+a₂)x+a₁)x+a₀. Η εκτίμηση πολυωνύμων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του υπολοίπου της πολυωνυμικής διαίρεσης μέσω πολυωνύμων βαθμού ένα, αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης του f by είναι f; δείτε Θεώρημα για πολυωνυμικά υπόλοιπα. Αυτό είναι πιο αποτελεσματικό απ τον συνηθισμένο αλγόριθμο της διαίρεσης όταν το πηλίκο δεν χρειάζεται. Στην απλή άλγεβρα, δίνονται μέθοδοι για την λύση όλων των πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων μιας μεταβλητής. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια. Για μεγαλύτερης τάξης, το θεώρημα Abel-Ruffini βεβαιώνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει μία γενική μέθοδος. Ωστόσο, μόνο η αριθμητική προσέγγιση των ριζών μπορεί να υπολογιστεί. Ο αριθμός των λύσεων μπορεί να μην υπερβαίνει τον βαθμό του πολυωνύμου, και είναι ίσος με τον βαθμό όταν οι μιγαδικές ρίζες υπολογίζονται με την δική τους πολλαπλότητα. Αυτό το γεγονός ονομάζεται θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. Ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο εξισώσεων στις οποίες κάθε μεταβλητή παίρνει την ίδια την ίδια τιμή κάθε φορά που εμφανίζεται σε οποιαδήποτε απ τις εξισώσεις. Γραμμική άλγεβρα είναι, βασικά, η μελέτη της μεθόδου λύσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους. Αν υπάρχουν περισσότεροι άγνωστοι απ τις εξισώσεις, το σύστημα καλείται αδύνατο. Αν υπάρχουν περισσότερες εξισώσεις από τους αγνώστους, το σύστημα καλείται αόριστο. Τα αόριστα συστήματα είναι κοινά σε πρακτικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, για μια χαρτογράφηση των Η.Π.Α. χρησιμοποιούνται υπολογιστές για την λύση 2,5 εκατομμυρίων εξισώσεων με 400.000 αγνώστους. Η μέθοδος Βιέτ σχετίζει τους συντελεστές ενός πολυωνύμου με συμμετρικά πολυώνυμα συνάρτηση των ριζών του. Ο κάθε συντελεστής του νέου πολυωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αντίστοιχων δυνάμεων της μεταβλητής. Αν η αντίστοιχη δύναμη σε ένα πολυώνυμο δεν υπάρχει ο συντελεστής μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν. Παράδειγμα: Αν ένας συντελεστής του αποτελέσματος είναι μηδέν τότε η αντίστοιχη δύναμη δεν αναγράφεται στο άθροισμα. Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου με το μεγαλύτερο βαθμό. Αν οι βαθμοί είναι ίσοι τότε ο βαθμός του αποτελέσματος μπορεί να είναι ίσος ή μικρότερος ή να μην ορίζεται. Η αφαίρεση μπορεί να γίνει με την πρόσθεση του πολυωνύμου με αντίθετους συντελεστές. Στη διαίρεση των πολυωνύμων Q διά P το πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο άλλων πολυωνύμων q και υ, ώστε Q=Pq+υ, με degυ<degP. Αποδεικνύεται ότι τα δύο αυτά πολυώνυμα είναι μοναδικά σε κάθε διαίρεση. Το πολυώνυμο q ονομάζεται πηλίκο, ενώ το πολυώνυμο υ ονομάζεται υπόλοιπο. Αν υ=0, τότε το πολυώνυμο P ονομάζεται παράγοντας του Q και η διαίρεση τέλεια. Ισχύει ότι degq=degQ-degP, αν ορίζονται βαθμοί στα δύο αρχικά πολυώνυμα. Δύο πολυώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο βαθμό και κάθε συντελεστής του ενός πολυωνύμου που αντιστοιχεί στη δύναμη α ισούται με το συντελεστή του άλλου πολυωνύμου που αντιστοιχεί επίσης στη δύναμη α. Πιο αυστηρά, ισχύει: displaystyleP(x)=Q(x)Leftrightarrowbegincasesoperatornamedeg(P)=operatornamedeg(Q)\aₙ=bₙ,aₙ₋₁=bₙ₋₁,ldots,a₁=b₁,a₀=b₀endcases Μια συνάρτηση displaystylep:Rrightarrow R ονομάζεται πολυώνυμο ή πολυωνυμική συνάρτηση, αν υπάρχει πεπερασμένη ακολουθία displaystyle(a₀,a₁,...,aₙᵤ)inmathbbRⁿᵘ⁺¹ τέτοια ώστε να ισχύει: displaystylep(x)=a₀+sumₖ₌₁ⁿᵘaₖxᵏ, displaystylexinmathbbR Η ταυτότητα displaystylep(x)=a₀+sumₖ₌₁ⁿᵘaₖxᵏ ονομάζεται αναπαράσταση του πολυωνύμου p και τα displaystylea₀,a₁,...,aₙᵤ συντελεστές του πολυωνύμου. Η αναπαράσταση ενός πολυωνύμου είναι μοναδική. Έστω μία πραγματική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς η οποία είναι παραγωγίσιμη και κάθε παράγωγός της είναι παραγωγίσιμη. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της ισχύει: displaystylebeginalignedf(x)&=f(x₀)+fracf¹(x₀)1!(x-x₀)+fracf²(x₀)2!(x-x₀)²+...+fracfᵏᵃᵖᵖᵃ(x₀)kappa!(x-x₀)ᵏᵃᵖᵖᵃ+...&=sumₙᵤ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfracfⁿᵘ(x₀)nu!(x-x₀)ⁿᵘendaligned Όπου fν η νιοστή παράγωγος της f στο x₀. Δηλαδή κάθε τέτοια συνάρτηση είναι πολυώνυμο άπειρων όρων. Επειδή ορίζονται δυνάμεις με μιγαδικές βάσεις το ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση των συναρτήσεων στους μιγαδικούς αριθμούς. Με βάση τη σειρά Τέιλορ μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγίσεις της συνάρτησης, ειδικά αν η τελευταία είναι περίπλοκη. Συνήθως στους υπολογιστές ή τη μηχανική και τη φυσική, ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια, αποφασίζουμε τους μ πρώτους όρους της σειράς, ώστε να μπορούμε να υπολογίζουμε με πιο εύχρηστο τύπο προσεγγίσεις μιας συνάρτησης. Αν λαμβάνουμε υπόψιν μόνο τους δύο πρώτους όρους, τότε η διαδικασία ονομάζεται γραμμικοποίηση. Η ακρίβεια της προσέγγισης της σειράς εξαρτάται από την επιλογή του σημείου x₀ και των μ πρώτων όρων που θα επιλέξουμε. Όσο πιο κοντά στο x₀ και με όσους περισσότερους όρους υπολογίζουμε την προσέγγιση, τόσο καλύτερη είναι. Προφανώς, η ανάπτυξη της σειράς Τέιλορ, αν η f είναι πολυωνυμική, είναι η ίδια η f. Η εκτίμηση των ριζών των πολυωνύμων, ή η «λύση αλγεβρικών εξισώσεων», είναι ανάμεσα στα παλαιότερα προβλήματα των μαθηματικών.Ωστόσο,η σημειογραφία που χρησιμοποιούμε σήμερα καθιερώθηκε μόλις τον 15ο αιώνα. Πριν από αυτό, οι εξισώσεις γράφονταν με λέξεις. Για παράδειγμα, ένα αλγεβρικό πρόβλημα απ τους Κινέζους Η αριθμητική σε εννιά στάδια, περίπου στα 200 π.Χ, ξεκινάει «Τρία μέρη μιας καλής σοδειάς, δύο μέρη μιας μέτριας σοδειάς, και ένα μέρος μιας κακής σοδειάς πωλούνται για 29 dou.» Θα έπρεπε να γράψουμε 3x + 2y + z = 29. Η πιο πρόσφατη γνωστή χρήση του συμβόλου της εξίσωσης γίνεται στο βιβλίο του Robert Recorde The Whetstone of Witte,το 1557. Το σύμβολο + για την πρόσθεση, − για την αφαίρεση, και η χρήση ενός γράμματος για έναν άγνωστο εμφανίζεται στο βιβλίο του Michael Stifel Arithemetica integra, το 1544.Ο René Descartes, στο La géometrie,το 1637, εισήγαγε το μοντέλο του γραφήματος μιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Καθιέρωσε τα γράμματα απ την αρχή του αλφαβήτου για να τις σταθερές και τα γράμματα απ το τέλος του αλφαβήτου για τις μεταβλητές, όπως φαίνεται απ τα παραπάνω, στην γενική μορφή για ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής, τα a δηλώνουν σταθερές και τα x δηλώνουν μεταβλητές.Ο Descartes εισήγαγε την χρήση των εκθετών. Κάθε πολυώνυμο P με μεταβλητή x αντιπροσωπεύει μία συνάρτηση, ƒ = P, ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση του P; η εξίσωση του x που γίνεται f = 0 είναι η πολυωνυμική εξίσωση που αντιστοιχεί στο P. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης, που ονομάζονται ρίζες του πολυωνύμου, είναι τα σημεία που μηδενίζεται η συνάρτηση ƒ. Ένας αριθμός a είναι μία λύση του P αν και μόνο αν το x − a διαιρεί το P. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι το x − a διαιρεί το P περισσότερες από μία φορά: Εάν το (x − a)² διαιρεί το P τότε a καλείται πολλαπλή ρίζα του P, διαφορετικά a καλείται απλή ρίζα του P. Εάν P είναι ένα μη μηδενικό πολυώνυμο, υπάρχει η μεγαλύτερη δύναμη m όπως που διαιρεί το P, η οποία καλείται πολλαπλότητα της ρίζας a στο P. Όταν P είναι το μηδενικό πολυώνυμο, η αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση είναι ασήμαντη, και σε αυτήν την περίπτωση είναι σύνηθες να παραλείπεται όταν όταν με τους παραπάνω ορισμούς κάθε αριθμός μπορεί να είναι ρίζα ενός μηδενικού πολυωνύμου, με απροσδιόριστη πολλαπλότητα. Με αυτήν την εξαίρεση, ο αριθμός των ριζών του P, ακόμη και να μετρηθεί με τις αντίστοιχες πολλαπλότητες, δεν μπορεί να υπερβαίνει τον βαθμό του P. Μερικά πολυώνυμα, όπως το x² + 1, δεν έχουν καθόλου ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς. Εάν, ωστόσο, επεκτείνουμε το πεδίο των ριζών στους μιγαδικούς αριθμούς, κάθε μη σταθερό έχει τουλάχιστον μία ρίζα αυτό είναι το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. Αν χωρίσουμε διαδοχικά τους παράγοντες του x − a, κάποιος βλέπει ότι κάθε πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί σαν σταθερό. Ο αριθμός των μιγαδικών ριζών με τις πολλαπλότητες τους είναι ακριβώς ίσως με τον βαθμό του πολυωνύμου. Υπάρχει μία διαφορά ανάμεσα στην εκτίμηση και τον υπολογισμό των ριζών. Μέθοδοι για τον υπολογισμό ριζών πολυωνύμου βαθμού 2, με συνθήκες τετραγώνου είναι γνωστές απ την αρχαιότητα,και για πολυώνυμα βαθμού 3 η 4 παρόμοιες μέθοδοι έχουν βρεθεί τον 16ο αιώνα. Αλλά μέθοδοι για 5ου βαθμού πολυώνυμα δεν έχουν βρεθεί ακόμη. Το 1824,ο Niels Henrik Abel απέδειξε το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα ότι δεν μπορεί να υπάρξει γενικά μέθοδος, που να περιλαμβάνει μόνο αριθμητικές πράξεις, που να υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού 5 η μεγαλύτερου. Το 1830,ο Εβαρίστ Γκαλουά, μελέτησε την μεταλλαγή των ριζών ενός πολυωνύμου, επεκτείνοντας το θεώρημα Άμπελ-Ρουφίνι δοθείσας μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, κάποιος μπορεί να αποφασίσει αν είναι επιλύσιμο με πρωτογενή αναλυση, και αν είναι, να το λύσει. Αυτό το αποτέλεσμα σημάδεψε την Θεωρία Γκαλουά και Θεωρία ομάδων, δύο σημαντικούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών. Ο Galois ο ίδιος παρατήρησε ότι οι υπολογισμοί με την μέθοδο του είναι ανέφικτοι. Παρόλα αυτά, μέθοδοι για επιλύσιμες εξισώσεις βαθμού 5 και 6 έχουν δημοσιευθεί. Αριθμητικές εκτιμήσεις των ριζών μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με έναν άγνωστο είναι εύκολο να γίνουν σε έναν υπολογιστή με την μέθοδο Τζένκινς-Τράουμπ, μέθοδο Λαγκέρ, μέθοδο Ντουράντ-Κέρνερ η με κάποιους άλλους αλγορίθμους εύρεσης ριζών. Για πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών η εντύπωση μιας ρίζας δεν υπάρχει, και υπάρχουν συνήθως άπειροι συνδυασμοί για τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες η πολυωνυμική συνάρτηση παίρνει την τιμή μηδέν. Ωστόσο οι βέβαιοι συνδυασμοί για τέτοια πολυώνυμα μας δείχνουν ότι μόνο για πεπερασμένους συνδυασμούς όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις παίρνουν την τιμή μηδέν. Για ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους, υπάρχουν αλγόριθμοι που μας δείχνουν αν έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό μιγαδικών ριζών. Αν ο αριθμός των ριζών είναι πεπερασμένος, υπάρχουν αλγόριθμοι για να υπολογίσουν τις ρίζες. Οι μέθοδοι που υπάρχουν σ αυτούς τους αλγόριθμους περιγράφονται στο άρθρο systems of polynomial equations. Η ειδική περίπτωση που όλα τα πολυώνυμα είναι βαθμού ένα καλείται σύστημα γραμμικών εξισώσεων, για το οποίο ένα άλλο σύνολο από μεθόδους λύσεις υπάρχει, περιλαμβανομένου και του κλασσικού της Γκαουσιανής απόρριψης. Έχει δειχτεί από τον Ρίτσαρντ Μπίρκελαντ και τον Καρλ Μέιρ ότι οι ρίζες κάθε πολυωνύμου μπορούν να εκφραστούν σε συνθήκες πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων υπερβολικής γεωμετρίας. Ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν και ο Χιρόσι Ουμεμούρα έδειξαν ότι οι λύσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν σε συνθήκες Siegel modular functions, γενικεύσεις του θεωρήματος theta που εμφανίζονται στην θεωρία ελλειπτικών συναρτήσεων. Αυτοί οι χαρακτηρισμοί των ριζών των τυχαίων πολυωνύμων είναι γενικεύσεις των μεθόδων που είχαν ανακαλυφθεί για την λύση της εξίσωσης quintic. Μια πολυωνυμική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα γράφημα. Το γράφημα του μηδενικού πολυωνύμου f = 0 είναι ο άξονας των x. Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 0 f = a₀, όπου a₀ ≠ 0, είναι μία οριζόντια γραμμή με τομή στον άξονα των y στο a₀ Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 1 f = a₀ + a₁x,όπου a₁ ≠ 0, είναι μία πλάγια γραμμή με τομή στον άξονα των y στοa₀ και κλίση a₁. Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 2 f = a₀ + a₁x + a₂x², όπου a₂ ≠ 0 είναι παραβολή. Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 3 f = a₀ + a₁x + a₂x², + a₃x³, όπου a₃ ≠ 0 είναι μία κυβική καμπύλη. Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 2 η μεγαλύτερου f = a₀ + a₁x + a₂x² +... + aₙx, όπου aₙ ≠ 0 and n ≥ 2 είναι μία συνεχής μη γραμμική καμπύλη. Το γράφημα ενός μη σταθερού πολυωνύμου πάντα τείνει στο άπειρο όταν η μεταβλητή αυξάνει. Τα γραφήματα των πολυωνύμων αναλύονται στον λογισμό με την χρήση τομών, κλίσεων, concavity,και συμπεριφοράς. Οι εικόνες παρακάτω δείχνουν γραφήματα πολυωνύμων. Πολυώνυμο βαθμού 2:f = x² - x - 2 = Πολυώνυμο βαθμού 3:f = x³/4 + 3x²/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 Πολυώνυμο βαθμού 4:f = 1/14 + 0.5 Πολυώνυμο βαθμού 5:f = 1/20 + 2 Πολυώνυμο βαθμού 6:f = 1/30 + 2 Πολυώνυμο βαθμού 7:f = Ένα σημαντικό θέμα του λογισμού είναι η ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων και η προσέγγιση τους με πολυωνυμικές συναρτήσεις. Η κορύφωση αυτών των προσπαθειών είναι το Θεώρημα Taylor, το οποίο γενικά κάνει κάθε σύνθετη συνάρτηση τοπικά να μοιάζει με πολυωνυμική, και το θεώρημα Stone-Weierstrass, το οποίο λέει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση οριοθετεί μια compact interval του άξονα των πραγματικών μπορεί να προσεγγιστεί όσο κοντά θέλουμε από μία πολυωνυμική συνάρτηση. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις συνήθως χρησιμοποιούνται σε παρεμβολές συναρτήσεων. Ο υπολογισμός παραγώγων και ολοκληρωμάτων πολυωνυμικών συναρτήσεων είναι εξαιρετικά απλή. Για την πολυωνυμική συνάρτηση displaystylesumᵢ₌₀ⁿaᵢxⁱ η παράγωγος με μεταβλητή το x είναι displaystylesumᵢ₌₁ⁿaᵢixⁱ⁻¹ και το άπειρο ολοκλήρωμα displaystylesumᵢ₌₀ⁿaᵢoveri+1xⁱ⁺¹+c. Στη θεωρητική άλγεβρα, υπάρχει διαφορά μεταξύ πολυωνύμων και πολωνυμικών συναρτήσεων. Ένα πολυώνυμο f μιας μεταβλητής X πάνω από ένα δακτύλιο του R ορίζεται με την μορφή displaystylef=aₙXⁿ+aₙ₋₁Xⁿ⁻¹+cdots+a₁X¹+a₀X⁰ όπου n ένας φυσικός αριθμός, οι συντελεστές displaystylea₀,ldots,aₙ είναι στοιχεία του R, και το X είναι επίσημο σύμβολο, του οποίου οι δυνάμεις Xⁱ είναι απλά για αντικατάσταση των συντελεστών aᵢ, έτσι η δοθείσα μορφή είναι ένας τρόπος κωδικοποίησης της ακολουθίας displaystyle(a₀,a₁,ldots), με n και aᵢ = 0 για κάθε i > n. Δύο πολυώνυμα με την ίδια τιμή του n θεωρούνται ίσα αν και μόνο αν η ακολουθίες των παραγόντων τους είναι ίσες επιπλέον κάθε πολυώνυμο είναι ίσο με κάθε πολυώνυμο με μεγαλύτερη τιμή για το n αν του τοποθετήσουμε την μεταβλητή μπροστά από κάθε παράγοντα που είναι ίσως με τον μηδέν. Αυτά τα πολυώνυμα δημιουργούνται προσθέτοντας απλός αντιπροσώπους στους παράγοντες (ο κανόνας της επέκτασης με μηδενικούς συντελεστές μπορεί να χρησιμοποιηθεί ότι τέτοιοι παράγοντες υπάρχουν). Έτσι κάθε πολυώνυμο είναι ίσο με το άθροισμα των όρων που χρησιμοποιούνται στην κανονική του μορφή, αν ένας όρος aᵢXⁱ ερμηνεύεται σαν πολυώνυμο με μηδενικούς παράγοντες σε όλες τις δυνάμεις του X εκτός από Xⁱ. Έπειτα για να προσδιορίσουμε την πολλαπλότητα, αρκεί ο distributive law για να περιγράψει το παράγωγο 2 όρων, το οποίο δίνεται απ τον τύπο displaystyleaXᵏ;bXˡ=abXᵏ⁺ˡ για όλα τα στοιχεία a, b του δακτυλίου R και όλους τους φυσικούς αριθμούς k και l. Έτσι το σύνολο όλων των πολυωνύμων με συντελεστές απ τον δακτύλιο του R αποτελεί ξεχωριστό δακτύλιο, τον πολυωνυμικό δακτύλιο πάνω από το R, που συμβολίζεται με R. Η αντιστοιχία από το R στο R που στέλνει το r στο rX⁰ είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων, με το R να θεωρείται υποδακτύλιος του R. Αν το R είναι αντιμεταθετικό, τότε το R είναι μία άλγεβρα πάνω από το R. Κάτι που μπορούμε να παρατηρήσουμε για τον δακτύλιο του R είναι ότι προκύπτει από το R προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο X στο R, και επεκτείνοντας το κατά ελάχιστο τρόπο σε δακτύλιο στο οποίο το X δεν ικανοποιεί άλλες σχέσεις παρά μόνο τις υποχρεωτικές, συν την αντιμεταθετικότητα με όλα τα στοιχεία του R. Για να γίνει αυτό, πρέπει να προσθέσουμε όλες τις δυνάμεις του X και τους γραμμικούς τους συνδυασμούς επίσης. Η διάταξη τον πολυωνυμικών δακτυλίων, μαζί με ιδεώδη, είναι σημαντικά εργαλεία για την κατασκευή νέων δακτυλίων μέσα από τους γνωστούς. Για παράδειγμα, ο δακτύλιος των μιγαδικών αριθμών, ο οποίος μπορεί να κατασκευαστεί από τον πολυωνυμικό R πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς με την προσθήκη του ιδεώδους των πολλαπλοτήτων του πολυωνύμου X² + 1. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η κατασκευή πεπερασμένων πεδίων, που γίνεται παρόμοια, αρχίζοντας απ το πεδίο των ακεραίων modulo κάτι πρώτος αριθμός ως συντελεστής του δακτυλίου R. Αν R είναι αντιμεταθετικό, τότε η μοναδιαία συνάρτηση μπορεί να συσχετιστεί με κάθε πολυώνυμο P στον R, μία πολυωνυμική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών ίσο με το R. Η μοναδιαία συνάρτηση διατηρεί την τιμή f υποκαθιστώντας την τιμή r με το σύμβολο X στο P. Ένας λόγος που διαχωρίζουμε τα πολυώνυμα απ τις πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι ότι πάνω από κάποιους δακτυλίους διαφορετικά πολυώνυμα μπορεί να μας δώσουν την ίδια πολυωνυμική συνάρτηση για παράδειγμα όπου R είναι οι ακέραιοι modulo p). Αυτή δεν είναι η περίπτωση όταν το R είναι πραγματικοί η μιγαδικοί αριθμοί,πως οι δύο περιπτώσεις διαχωρίζονται στην ανάλυση. Ένας ακόμη πιο σημαντικός λόγος για να διαχωρίσουμε τα πολυώνυμα και τις πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι ότι οι πράξεις στα πολυώνυμα χρειάζονται να κοιτάξεις από τι αποτελείται ένα πολυώνυμο σαν έκφραση από το να εκτιμήσεις σαν σταθερή τιμή για το X. Και πρέπει να σημειωθεί ότι αν το R δεν είναι αντιμεταθετικό, δεν υπάρχει καμία περίπτωση πωλυωνυμικής συνάρτησης. Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένα κύριο στοιχείο μελέτης είναι η διαιρετότητα ανάμεσα στα πολυώνυμα. Αν το R είναι μια ακέραια περιοχή και f και g πολυώνυμα του R, ισχύει ότι f διαιρεί τοg η f είναι διαιρέτης του g εάν υπάρχει ένα πολυώνυμο q του R τέτοιο ώστε f q = g. Κάτι που δείχνει ότι κάθε μηδενικό δίνει ένα γραμμικό διαιρέτη, η πιο σωστά, αν f είναι ένα πολυώνυμο του R και r είναι ένα στοιχείο του R τέτοιο ώστε f = 0, τότε το πολυώνυμο διαιρεί το f. Ισχύει και το αντίθετο. Το πηλίκο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ατελή διαίρεση πολυωνύμων. Αν F είναι ένα πεδίο και fκαι g πολυώνυμα στο F με g ≠ 0, τότε υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα q και r στο F με displaystylef=q,g+r και τέτοια ώστε ο βαθμός του r είναι μικρότερος απ τον βαθμό του g. Τα πολυώνυμα q και r είναι μοναδικά προσδιορισμένα από τηνf και την g. Αυτό ονομάζεται Ευκλείδεια διαίρεση, διαίρεση με υπόλοιπο η ατελής πολυωνυμική διαίρεση και δείχνει ότι ο δακτύλιος F είναι ένας Ευκλείδειος χώρος. Αναλογικά, τα πρώτα πολυώνυμα μπορούν να θεωρηθούν ως πολυώνυμα που δεν μπορούν να χωριστούν σε γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων. Κάθε πολυώνυμο μπορεί να διασπαστεί σε γινόμενο ενός σταθερού με ένα αμείωτο πολυώνυμο. Αυτή η διάσπαση είναι μοναδική και εξαρτάται απ την τάξη των παραγόντων και το γινόμενο κάθε σταθερού με έναν σταθερό. Το κριτήριο Eisenstein μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί σε μερικές περιπτώσεις για τον έλεγχο της μειωσιμότητας. Δείτε επίσης: Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο πολυωνύμων. Τα πολυώνυμα κατηγοριοποιούνται σύμφωνα με πολλές διαφορετικές ιδιότητες. Μία κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων βασίζεται στον αριθμό των διαφορετικών μεταβλητών. Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής ονομάζεται μονοπαραμετικό πολυώνυμο, ένα πολυώνυμο με περισσότερες από μία μεταβλητή πολυπαραμετρικό πολυώνυμο. Είναι δυνατόν να ταξινομήσουμε περαιτέρω τα πολυπαραμετρικά πολυώνυμα σαν δυπαραμετρικά, τρειπαραμετρικά, και ούτω καθεξής, ανάλογα με τον μέγιστο αριθμό μεταβλητών που περιέχουν. Είναι ξεκάθαρο ότι κάθε διπαραμετρικό πολυώνυμο είναι και τριπαραμετρικό, και ούτω καθ'εξής. Ένας δεύτερος βασικός διαχωρισμός των πολυωνύμων γίνεται με βάση των βαθμό τους. Θυμηθείτε ότι ο βαθμός ενός όρου είναι το άθροισμα των εκθετών στις μεταβλητές, και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων. Συνήθως, ένα πολυώνυμο βαθμού n, για n μεγαλύτερο του 3, ονομάζεται πολυώνυμο βαθμού n, ωστόσο οι φράσεις τεταρτοβάθμιο και πεμπτοβάθμιο χρησιμοποιούνται μερικές φορές. Η χρήση ονομάτων για βαθμούς μεγαλύτερους του 5 είναι ακόμη πιο σπάνια. Τα ονόματα των βαθμών μπορεί να αφορούν τα πολυώνυμα ή τους όρους τους. Για παράδειγμα, στο displaystylex²+2x+1 ο όρος displaystyle2x είναι ένας όρος πρώτου βαθμού σε ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο. Στο ευρύτερο πλαίσιο της πολυωνυμικής παρεμβολής υπάρχει ένα μπέρδεμα των δύο παραπάνω κατηγοριοποιήσεων. Για παράδειγμα, μια διγραμμική παρεμβολή, είναι το παράγωγο δύο μονοπαραμετρικών πολυωνύμων, είναι διπαραμετρικό αλλά δεν είναι γραμμικό; παρόμοια αμφισημία επηρεάζει και την δικυβική παρεμβολή. Το πολυώνυμο displaystylemathbf0, που θεωρούμε ότι δεν έχει καθόλου όρους, ονομάζεται μηδενικό πολυώνυμο. Αντίθετα σε άλλα σταθερά πολυώνυμα, οι βαθμοί τους δεν είναι μηδενικοί. Ο βαθμός του μηδενικού πολυωνύμου είναι απροσδιόριστος, η προσδιορίζεται σαν αρνητικός (ανάμεσα στο –1 και –∞). Αυτές οι συμβάσεις είναι σημαντικές όταν εξηγούμε την Ευκλείδεια διαίρεση των πολυωνύμων. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι επίσης μοναδικό σε αυτό είναι το μόνο πολυώνυμο που έχει άπειρο αριθμό ριζών. Αν ένα πολυώνυμο έχει μόνο μία μεταβλητή, τότε οι όροι του συνήθως γράφονται απ τον μεγιστοβάθμιο προς αυτόν με την μικρότερη δύναμη η απ τον μικρότερου βαθμού στον μεγιστοβάθμιο. Ένα μονοπαραμετρικό πολυώνυμο του x βαθμού n έχει την γενική μορφή displaystylecₙxⁿ+cₙ₋₁xⁿ⁻¹+cdots+c₂x²+c₁x+c₀ όπου cₙ ≠ 0, cₙ₋₁,..., c₂, c₁ και c₀ είναι σταθερές, οι συντελεστές του πολυωνύμου. Εδώ ο όρος cₙx ονομάζεται πρωτεύων όρος και ο συντελεστής του cₙ ο πρωτεύων συντελεστής; αν ο πρωτεύων συντελεστής είναι 1, το μονοπαραμετρικό πολυώνυμο ονομάζεται μονικό. Σημειώνεται εξαιρουμένου του πρωτεύοντος συντελεστή cₙ αυτή η γενική μορφή επιτρέπει στους παράγοντες να είναι μηδέν; όταν αυτό συμβαίνει ο αντίστοιχος όρος είναι μηδέν και μπορεί να βγει απ το άθροισμα χωρίς να αλλάζει το πολυώνυμο. Πρέπει ωστόσο να αναφέρουμε ότι ο cᵢ είναι παράγοντας του xⁱ, ακόμη και όταν cᵢ είναι ίσο με 0, έτσι ώστε xⁱ να μην αποτελεί όρο; για παράδειγμα κάποιος μπορεί να πει για τον σταθερό όρο του πολυωνύμου,εννοώντας c₀ ακόμη και αν αυτός είναι ίσος με μηδέν. Στην περίπτωση πολυωνύμων περισσότερων μεταβλητών, ένα πολυώνυμο ονομάζεται ομογενές βαθμού n αν όλοι οι όροι του έχουν βαθμό n. Για παράδειγμα, displaystylex³y²+7x²y³-3x⁵ είναι ομογενές βαθμού 5. Για λεπτομέρειες, δες Ομογενές πολυώνυμο. Μία άλλη κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων γίνεται με βάση το είδος των συντελεστών τους. Υπάρχουν πολυώνυμα με ακέραιους, ρητούς, πραγματικούς, ή μιγαδικούς συντελεστές, και στην θεωρητική άλγεβρα πολυώνυμα με πολλούς άλλους τύπους συντελεστών, όπως συντελεστές που είναι ακέραιοι modulo p. Ειδικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των πολυωνύμων που έχουν συντελεστές πολυώνυμα με άλλες μεταβλητές. Αυτό δείχνει ότι ένα πολυώνυμο, για παράδειγμα, x, y, z μπορεί να θεωρηθεί σαν μονοπαραμετρικό στο z με τους συντελεστές του να είναι διπαραμετρικοι στο x καιy. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά στη θεωρία πολυπαραμετρικών πολυωνύμων. Στην κατηγοριοποίηση με βάση των αριθμό μεταβλητών, όταν εργαζόμαστε με συντελεστές από ένα γνωστό σύνολο, όπως είναι οι μιγαδικοί αριθμοί, μπορούμε να χρησιμοποιούμε συντελεστές και από κάθε υποσύνολο αυτού. Έτσι displaystylex²+3x-5 είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές,αλλά είναι επίσης και ένα πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές, επειδή οι ακέραιοι είναι υποσύνολο των μιγαδικών. Τα πολυώνυμα μπορούν επίσης να κατηγοριοποιηθούν με βάση τους όρους με μη μηδενικούς παράγοντες, έτσι ένα πολυώνυμο με έναν όρο καλείται μονόνυμο, με δύο όρους δυόνυμο, και ούτω καθ εξής. Τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση συναρτήσεων, όπως το ημίτονο, συνημίτονο και η εκθετική. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα περιέχει πληροφορίες για τις ιδιοτιμές του. Το ελάχιστο πολυώνυμο ενός αλγεβρικού στοιχείου καταγράφει την απλούστερη αλγεβρική σχέση που ικανοποιείται από αυτό το στοιχείο. Το χρωματικό πολυώνυμο ενός γράφου μετράει τον αριθμό των κατάλληλων χρωματισμών του γραφήματος. Τα πολυώνυμα συχνά χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση πληροφοριών. Τα πολυώνυμα μπορεί να περιέχουν περισσότερες από μία παραμέτρους, τέτοια ονομάζονται πολυπαραμετρικά. Οι δακτύλιοι πολυωνύμων με πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών είναι θεμελιώδους σημασίας στην αλγεβρική γεωμετρία η οποία μελετά τον ταυτόχρονο μηδενισμό όλων πολυπαραμετρικών πολυωνύμων. Αυτοί οι δακτύλιοι εναλλακτικά μπορούν να κατασκευαστούν επαναλαμβάνοντας την κατασκευή ενός δακτυλίου με μονοπαραμετρικά πολυώνυμα και συντελεστές άλλους δακτυλίους: έτσι ο δακτύλιος R πολυωνύμων του X και του Y μπορεί να θεωρηθεί σαν δακτύλιος πολυωνύμων του Y με συντελεστές πολυώνυμα του X, ή ο δακτύλιος πολυωνύμων του X με συντελεστές πολυώνυμα του Y. αυτές οι παρατηρήσεις συμφωνούν με τις αριθμητικές πράξεις, αλλά μερικά σημεία όπως ο βαθμός ή πότε ένα πολυώνυμο θεωρείται μονικό μπορεί να διαφέρουν. Μπορούν να κατασκευαστούν δακτύλιοι πολυωνύμων με άπειρες παραμέτρους, αλλά απ την στιγμή που τα πολυώνυμα είναι εκφράσεις, κάθε πολυώνυμο μπορεί να περιέχει μόνο πεπερασμένο αριθμό παραμέτρων. Ένα δυαδικό πολυώνυμο που η δεύτερη παράμετρος έχει την μορφή εκθετικής συνάρτησης, για παράδειγμα το P, ονομάζεται εκθετικό πολυώνυμο. Τα πολυώνυμα Laurent, επιτρέπουν να υπάρχουν αρνητικές δυνάμεις στις παραμέτρους τους. Τα πηλίκα πολυωνύμων ονομάζονται ρητές εκφράσεις, και συναρτήσεις που υπολογίζουν ρητές εκφράσεις ονομάζονται ρητές συναρτήσεις. Τα ρητά κλάσματα είναι μορφές πηλίκων πολυωνύμων. Η ρητή συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα ρητό κλάσμα είναι το πηλίκο των πολυωνυμικών συναρτήσεων που προσδιορίζεται απ τον αριθμητή και τον παρονομαστή των ρητών κλασμάτων. Τα ρητά κλάσματα περιλαμβάνουν τα πολυώνυμα Laurent, αλλά δεν αποκλείουν τους παρονομαστές απ τις δυνάμεις των παραμέτρων. Ενώ οι πολυωνυμικές συναρτήσεις προσδιορίζονται για κάθε τιμή των παραμέτρων, μία ρητή συνάρτηση προσδιορίζεται μόνο για τιμές των παραμέτρων γα τις οποίες ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν. Μια ρητή συνάρτηση δίνει ρητό αποτέλεσμα για κάθε τιμή για την οποία ορίζεται; αυτό δεν ισχύει για άλλες συναρτήσεις όπως τις τριγωνομετρικές, λογαριθμικές και εκθετικές Η σειρά δύναμης είναι σαν τα πολυώνυμα, αλλά μπορεί να περιέχει άπειρους μη μηδενικούς όρους, όποτε δεν έχει πεπερασμένο βαθμό. Σε αντίθεση με τα πολυώνυμα δεν μπορούν να γραφούν λεπτομερώς, αλλά γενικά ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τα πολυώνυμα. Hazewinkel, Michiel, επιμ.., «Polynomial», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/p073690 Η δουλειά του Όιλερ στα μιγαδικά πολυώνυμα Χριστόπουλος, Θανάσης. «Πολυώνυμα μίας μεταβλητής». Ευκλείδης Β΄: 39-42. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t122_2021.pdf. Θάνος Μάγκος. «Περί Αναγωγισιμότητας Πολυωνύμων». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας: 1-13. http://ekthetis.gr/Ekthetis021.pdf. Τασσόπουλος, Γιώργος Σ.. «Περί πολυωνύμων ». Ευκλείδης Β΄: 71-74. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T90.pdf. Μήτσιου Κώστας; Σκούρας Αθανάσιος. «Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Εξισώσεις». Ευκλείδης Β΄: 21-24. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3488. Ν. Παπαδόπουλος. «Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις με πραγματικούς συντελεστές και λύσεις στο σύνολο R, των πραγματικών αριθμών». Ευκλείδης Β΄: 20-26. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3164. Α. Γκικάκη. «Ρίζες Πολυωνύμων». Ευκλείδης Β΄: 31-34. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3164. Α. Γκικάκη. «Πολυώνυμα μίας μεταβλητής». Ευκλείδης Β΄: 33-34. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2972. Gordon, Sheldon P.. «Social Security Polynomials». The Mathematics Teacher 85: 758-760. https://www.jstor.org/stable/27967915. Kelly, J. B.. «Polynomials and Polyominoes». The American Mathematical Monthly 73: 464–471. doi:10.1080/00029890.1966.11970784. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1966-05_73_5/page/464. Αλέξανδρος Π. Τραγανίτης, Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου, Α΄ Τεύχος, εκδ. Σαβάλλας Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου, εκδόσεις ΟΕΔΒ 2007, ISBN 960-06-0357-X Βουκούτης, Ναπολέων. Πολυώνυμα. Αθήνα: Gutenberg. Καζαντζής, Θεόδωρος Ν.. Πολυώνυμα. Θεσσαλονίκη. Μπασογιάννης, Αθανάσιος Μ. Πολυώνυμα: Θεωρία, μέθοδοι, ασκήσεις. Ιωάννινα. Παπαγιάννης, Ορέστης Β. Λυμέναι ασκήσεις άλγεβρας-αναλύσεως: πολυώνυμα. Αθήνα: Λεούσης-Μαστρογιάννης. Ποσταντζής, Δημήτρης. Πολυώνυμα: Μεθοδολογία. Αθήνα. Ρούτσης, Νίκος. Πολυώνυμα. Αθήνα.
