Επίλυση (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 20-x με το 100+20x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Αφαιρέστε 2240 και από τις δύο πλευρές.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Αφαιρέστε 2240 από 2000 για να λάβετε -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -20, το b με 300 και το c με -240 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Υψώστε το 300 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 80 επί -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Προσθέστε το 90000 και το -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -300 και το 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Διαιρέστε το -300+20\sqrt{177} με το -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20\sqrt{177} από -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Διαιρέστε το -300-20\sqrt{177} με το -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 20-x με το 100+20x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Αφαιρέστε 2000 και από τις δύο πλευρές.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Αφαιρέστε 2000 από 2240 για να λάβετε 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Η διαίρεση με το -20 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Διαιρέστε το 300 με το -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Διαιρέστε το 240 με το -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Διαιρέστε το -15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το -12 και το \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Παραγον x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Προσθέστε \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$