Επίλυση (20-3x)(12-2x)=112

$$(20-3x)(12-2x)=112$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 20-3x με το 12-2x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Αφαιρέστε 112 και από τις δύο πλευρές.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Αφαιρέστε 112 από 240 για να λάβετε 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -76 και το c με 128 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -76 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 5776 και το -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -76 είναι 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{76±52}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 76 και το 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{128}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{32}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{76±52}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 52 από 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Διαιρέστε το 24 με το 12.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 20-3x με το 12-2x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Αφαιρέστε 240 και από τις δύο πλευρές.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Αφαιρέστε 240 από 112 για να λάβετε -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-76}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-128}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{38}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{19}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{19}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{19}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{64}{3} και το \frac{361}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Προσθέστε \frac{19}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$