Επίλυση (1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10,630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10,630145813i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Έκφραση του 2\times \frac{x}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Απαλείψτε το 2 και το 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του 2+x με κάθε όρο του 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Συνδυάστε το -400x και το 1000x για να λάβετε 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1000 με το 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Προσθέστε 2000 και 1000 για να λάβετε 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Συνδυάστε το 600x και το 1000x για να λάβετε 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Αφαιρέστε 28800 και από τις δύο πλευρές.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

Αφαιρέστε 28800 από 3000 για να λάβετε -25800.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -200, το b με 1600 και το c με -25800 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Υψώστε το 1600 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 800 επί -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

Προσθέστε το 2560000 και το -20640000.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -18080000.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1600 και το 400i\sqrt{113}.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

Διαιρέστε το -1600+400i\sqrt{113} με το -400.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 400i\sqrt{113} από -1600.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

Διαιρέστε το -1600-400i\sqrt{113} με το -400.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Έκφραση του 2\times \frac{x}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Απαλείψτε το 2 και το 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του 2+x με κάθε όρο του 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Συνδυάστε το -400x και το 1000x για να λάβετε 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1000 με το 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Προσθέστε 2000 και 1000 για να λάβετε 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Συνδυάστε το 600x και το 1000x για να λάβετε 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Αφαιρέστε 3000 και από τις δύο πλευρές.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

Αφαιρέστε 3000 από 28800 για να λάβετε 25800.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -200.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

Η διαίρεση με το -200 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -200.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

Διαιρέστε το 1600 με το -200.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

Διαιρέστε το 25800 με το -200.

$$x^{2}-8x=-129$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

Προσθέστε το -129 και το 16.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

Παραγον x^{2}-8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

Απλοποιήστε.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$