Επίλυση (x^2+3x-2)(x^2+3x+4)=16

$$( x ^ { 2 } + 3 x - 2 ) ( x ^ { 2 } + 3 x + 4 ) = 16$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=-4$$

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1,5-1,936491673i$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+3x-2 με το x^{2}+3x+4 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από -8 για να λάβετε -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -24 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 με το x-1 για να λάβετε x^{3}+7x^{2}+18x+24. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 24 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-4$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}+7x^{2}+18x+24 με το x+4 για να λάβετε x^{2}+3x+6. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 3 για b και 6 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}+3x+6=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=1 x=-4 x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=1$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+3x-2 με το x^{2}+3x+4 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από -8 για να λάβετε -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -24 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 με το x-1 για να λάβετε x^{3}+7x^{2}+18x+24. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 24 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-4$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}+7x^{2}+18x+24 με το x+4 για να λάβετε x^{2}+3x+6. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 3 για b και 6 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Δεδομένου ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται σε πραγματικό πεδίο, δεν υπάρχουν λύσεις.

$$x\in \emptyset$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=1 x=-4$$