Επίλυση (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Υπολογίστε \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 9x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Αφαιρέστε 64 από 9 για να λάβετε -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Προσθέστε -55 και 1 για να λάβετε -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Αφαιρέστε 9x και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Συνδυάστε το 6x και το -9x για να λάβετε -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Αφαιρέστε 18 από -54 για να λάβετε -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx-72. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-24 b=21$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}-3x-72 ως \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7x-24 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 7x-24=0 και x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Υπολογίστε \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 9x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Αφαιρέστε 64 από 9 για να λάβετε -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Προσθέστε -55 και 1 για να λάβετε -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Αφαιρέστε 9x και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Συνδυάστε το 6x και το -9x για να λάβετε -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Αφαιρέστε 18 από -54 για να λάβετε -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με -3 και το c με -72 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 9 και το 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±45}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{48}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±45}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 45 από 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Διαιρέστε το -42 με το 14.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Υπολογίστε \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 9x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Αφαιρέστε 64 από 9 για να λάβετε -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Προσθέστε -55 και 1 για να λάβετε -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Αφαιρέστε 9x και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Συνδυάστε το 6x και το -9x για να λάβετε -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Προσθήκη 54 και στις δύο πλευρές.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Προσθέστε 18 και 54 για να λάβετε 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{14}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{14} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{14} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Προσθέστε το \frac{72}{7} και το \frac{9}{196} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Προσθέστε \frac{3}{14} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$