Επίλυση (5x-7)^2-5(2x+1)(x-2)=-x^2-[-(3x+1)]

$$( 5 x - 7 ) ^ { 2 } - 5 ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) = - x ^ { 2 } - [ - ( 3 x + 1 ) ]$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16}\approx 1,8125+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}\approx 1,8125-0,582961191i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-7\right)^{2}.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-\left(3x+1\right)\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-3x-1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -3x-1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}+3x+1$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}=3x+1$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x-1=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το 2x+1.

$$25x^{2}-70x+49+\left(-10x-5\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x-1=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -10x-5 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$25x^{2}-70x+49-10x^{2}+15x+10+x^{2}-3x-1=0$$

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε 15x^{2}.

$$15x^{2}-70x+49+15x+10+x^{2}-3x-1=0$$

Συνδυάστε το -70x και το 15x για να λάβετε -55x.

$$15x^{2}-55x+49+10+x^{2}-3x-1=0$$

Προσθέστε 49 και 10 για να λάβετε 59.

$$15x^{2}-55x+59+x^{2}-3x-1=0$$

Συνδυάστε το 15x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 16x^{2}.

$$16x^{2}-55x+59-3x-1=0$$

Συνδυάστε το -55x και το -3x για να λάβετε -58x.

$$16x^{2}-58x+59-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από 59 για να λάβετε 58.

$$16x^{2}-58x+58=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 16, το b με -58 και το c με 58 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{\left(-58\right)^{2}-4\times 16\times 58}}{2\times 16}$$

Υψώστε το -58 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-4\times 16\times 58}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-64\times 58}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -64 επί 58.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{3364-3712}}{2\times 16}$$

Προσθέστε το 3364 και το -3712.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±\sqrt{-348}}{2\times 16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -348.

$$x=\frac{-\left(-58\right)±2\sqrt{87}i}{2\times 16}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -58 είναι 58.

$$x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 16.

$$x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 58 και το 2i\sqrt{87}.

$$x=\frac{58+2\sqrt{87}i}{32}$$

Διαιρέστε το 58+2i\sqrt{87} με το 32.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{58±2\sqrt{87}i}{32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{87} από 58.

$$x=\frac{-2\sqrt{87}i+58}{32}$$

Διαιρέστε το 58-2i\sqrt{87} με το 32.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-7\right)^{2}.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-\left(3x+1\right)\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}-\left(-3x-1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -3x-1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)=-x^{2}+3x+1$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}=3x+1$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-70x+49-5\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το 2x+1.

$$25x^{2}-70x+49+\left(-10x-5\right)\left(x-2\right)+x^{2}-3x=1$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -10x-5 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$25x^{2}-70x+49-10x^{2}+15x+10+x^{2}-3x=1$$

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε 15x^{2}.

$$15x^{2}-70x+49+15x+10+x^{2}-3x=1$$

Συνδυάστε το -70x και το 15x για να λάβετε -55x.

$$15x^{2}-55x+49+10+x^{2}-3x=1$$

Προσθέστε 49 και 10 για να λάβετε 59.

$$15x^{2}-55x+59+x^{2}-3x=1$$

Συνδυάστε το 15x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 16x^{2}.

$$16x^{2}-55x+59-3x=1$$

Συνδυάστε το -55x και το -3x για να λάβετε -58x.

$$16x^{2}-58x+59=1$$

Αφαιρέστε 59 και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}-58x=1-59$$

Αφαιρέστε 59 από 1 για να λάβετε -58.

$$16x^{2}-58x=-58$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 16.

$$\frac{16x^{2}-58x}{16}=-\frac{58}{16}$$

Η διαίρεση με το 16 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{58}{16}\right)x=-\frac{58}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-58}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x=-\frac{58}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-58}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x=-\frac{29}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{29}{8}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{29}{16}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{29}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\left(-\frac{29}{16}\right)^{2}=-\frac{29}{8}+\left(-\frac{29}{16}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{29}{16} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}=-\frac{29}{8}+\frac{841}{256}$$

Προσθέστε το -\frac{29}{8} και το \frac{841}{256} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}=-\frac{87}{256}$$

Παραγον x^{2}-\frac{29}{8}x+\frac{841}{256}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{29}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x-\frac{29}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Προσθέστε \frac{29}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{29+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i+29}{16}$$