Επίλυση (3x-1)^2-(2x+1)^2=7

$$( 3 x - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 7$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx 2,549193338$$

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx -0,549193338$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4x^{2}+4x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

Συνδυάστε το -6x και το -4x για να λάβετε -10x.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

Αφαιρέστε 1 από 1 για να λάβετε 0.

$$5x^{2}-10x=7$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}-10x-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -10 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+140}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 100 και το 140.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{240}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 240.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}+10}{10}$$

Διαιρέστε το 10+4\sqrt{15} με το 10.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{15} από 10.

$$x=\frac{10-4\sqrt{15}}{10}$$

Διαιρέστε το 10-4\sqrt{15} με το 10.

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4x^{2}+4x+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

Συνδυάστε το -6x και το -4x για να λάβετε -10x.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

Αφαιρέστε 1 από 1 για να λάβετε 0.

$$5x^{2}-10x=7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{7}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{7}{5}$$

Διαιρέστε το -10 με το 5.

$$x^{2}-2x=\frac{7}{5}$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=\frac{7}{5}+1$$

Προσθέστε το \frac{7}{5} και το 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{12}{5}$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{12}{5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{12}{5}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=\frac{2\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{2\sqrt{15}}{5}$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$