Επίλυση (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5x-5 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Προσθέστε 1 και 5 για να λάβετε 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Αφαιρέστε 8 από 6 για να λάβετε -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Συνδυάστε το 6x και το x για να λάβετε 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$-1,8 -2,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-1 b=8$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+7x-2 ως \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4x-1=0 και x+2=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5x-5 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Προσθέστε 1 και 5 για να λάβετε 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Αφαιρέστε 8 από 6 για να λάβετε -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Συνδυάστε το 6x και το x για να λάβετε 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 7 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 49 και το 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±9}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±9}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από -7.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Διαιρέστε το -16 με το 8.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5x-5 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

Προσθέστε 1 και 5 για να λάβετε 6.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

Συνδυάστε το 6x και το x για να λάβετε 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

Αφαιρέστε 6 από 8 για να λάβετε 2.

$$4x^{2}+7x=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το \frac{49}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

Παραγον x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$