Επίλυση (3x+1)^2=4

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 4$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+6x+1-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 1 για να λάβετε -3.

$$9x^{2}+6x-3=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$3x^{2}+2x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-1 b=3$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+2x-1 ως \left(3x^{2}-x\right)+\left(3x-1\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 3x^{2}-x.

$$x\left(3x-1\right)+3x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-1=0 και x+1=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+6x+1-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 1 για να λάβετε -3.

$$9x^{2}+6x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 6 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+108}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 36 και το 108.

$$x=\frac{-6±\sqrt{144}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-6±12}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-6±12}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±12}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 12.

$$x=\frac{6}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±12}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από -6.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Διαιρέστε το -18 με το 18.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=4$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+6x=4-1$$

Αφαιρέστε 1 από 4 για να λάβετε 3.

$$9x^{2}+6x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{3}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{3}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{3}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το \frac{1}{3} και το \frac{1}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$