Επίλυση (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Λύση ως προς r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Προσθέστε 9 και 225 για να λάβετε 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Συνδυάστε το 6r και το 30r για να λάβετε 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Συνδυάστε το r^{2} και το r^{2} για να λάβετε 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Υπολογίστε το 18στη δύναμη του 2 και λάβετε 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Αφαιρέστε 324 και από τις δύο πλευρές.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Αφαιρέστε 324 από 234 για να λάβετε -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 36 και το c με -90 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 36 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 1296 και το 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -36 και το 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Διαιρέστε το -36+12\sqrt{14} με το 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12\sqrt{14} από -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Διαιρέστε το -36-12\sqrt{14} με το 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Προσθέστε 9 και 225 για να λάβετε 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Συνδυάστε το 6r και το 30r για να λάβετε 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Συνδυάστε το r^{2} και το r^{2} για να λάβετε 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Υπολογίστε το 18στη δύναμη του 2 και λάβετε 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Αφαιρέστε 234 και από τις δύο πλευρές.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Αφαιρέστε 234 από 324 για να λάβετε 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Διαιρέστε το 36 με το 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Διαιρέστε το 90 με το 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Διαιρέστε το 18, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 9. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Προσθέστε το 45 και το 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Παραγον r^{2}+18r+81. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Απλοποιήστε.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$