Επίλυση (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Λύση ως προς y

$$y=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Συνδυάστε το 4y^{2} και το 2y^{2} για να λάβετε 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 9 για να λάβετε 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=1$$

Γράψτε πάλι το y^{2}+2y+1 ως \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το y στην εξίσωση y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το y+1=0.

$$y=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Συνδυάστε το 4y^{2} και το 2y^{2} για να λάβετε 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 9 για να λάβετε 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με 12 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 144 και το -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Διαιρέστε το -12 με το 12.

$$y=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Συνδυάστε το 4y^{2} και το 2y^{2} για να λάβετε 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Αφαιρέστε 9 από 3 για να λάβετε -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 12 με το 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το -6 με το 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Προσθέστε το -1 και το 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Παραγον y^{2}+2y+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$y+1=0 y+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=-1 y=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$y=-1$$