Επίλυση (2500+250x)^2+500^2=(340x)^2

$$( 2500 + 250 x ) ^ { 2 } + 500 ^ { 2 } = ( 340 x ) ^ { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{50 \sqrt{29431} + 6250}{531} \approx 27,924167233$$

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}\approx -4,383677591$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2500+250x\right)^{2}.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+500^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 500στη δύναμη του 2 και λάβετε 250000.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+250000=\left(340x\right)^{2}$$

Προσθέστε 6250000 και 250000 για να λάβετε 6500000.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(340x\right)^{2}.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=340^{2}x^{2}$$

Υπολογίστε το 340στη δύναμη του 2 και λάβετε 115600.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=115600x^{2}$$

Αφαιρέστε 115600x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}-115600x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 62500x^{2} και το -115600x^{2} για να λάβετε -53100x^{2}.

$$6500000+1250000x-53100x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-53100x^{2}+1250000x+6500000=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -53100, το b με 1250000 και το c με 6500000 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1250000^{2}-4\left(-53100\right)\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Υψώστε το 1250000 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000-4\left(-53100\right)\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -53100.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000+212400\times 6500000}}{2\left(-53100\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 212400 επί 6500000.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{1562500000000+1380600000000}}{2\left(-53100\right)}$$

Προσθέστε το 1562500000000 και το 1380600000000.

$$x=\frac{-1250000±\sqrt{2943100000000}}{2\left(-53100\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2943100000000.

$$x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{2\left(-53100\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -53100.

$$x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1250000 και το 10000\sqrt{29431}.

$$x=\frac{10000\sqrt{29431}-1250000}{-106200}$$

Διαιρέστε το -1250000+10000\sqrt{29431} με το -106200.

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1250000±10000\sqrt{29431}}{-106200} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10000\sqrt{29431} από -1250000.

$$x=\frac{-10000\sqrt{29431}-1250000}{-106200}$$

Διαιρέστε το -1250000-10000\sqrt{29431} με το -106200.

$$x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531} x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2500+250x\right)^{2}.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+500^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 500στη δύναμη του 2 και λάβετε 250000.

$$6250000+1250000x+62500x^{2}+250000=\left(340x\right)^{2}$$

Προσθέστε 6250000 και 250000 για να λάβετε 6500000.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=\left(340x\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(340x\right)^{2}.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=340^{2}x^{2}$$

Υπολογίστε το 340στη δύναμη του 2 και λάβετε 115600.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}=115600x^{2}$$

Αφαιρέστε 115600x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6500000+1250000x+62500x^{2}-115600x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 62500x^{2} και το -115600x^{2} για να λάβετε -53100x^{2}.

$$6500000+1250000x-53100x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 6500000 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$1250000x-53100x^{2}=-6500000$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-53100x^{2}+1250000x=-6500000$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -53100.

$$\frac{-53100x^{2}+1250000x}{-53100}=-\frac{6500000}{-53100}$$

Η διαίρεση με το -53100 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -53100.

$$x^{2}+\frac{1250000}{-53100}x=-\frac{6500000}{-53100}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{1250000}{-53100} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 100.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x=-\frac{6500000}{-53100}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6500000}{-53100} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 100.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x=\frac{65000}{531}$$

Διαιρέστε το -\frac{12500}{531}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{6250}{531}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{6250}{531} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\left(-\frac{6250}{531}\right)^{2}=\frac{65000}{531}+\left(-\frac{6250}{531}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{6250}{531} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961}=\frac{65000}{531}+\frac{39062500}{281961}$$

Προσθέστε το \frac{65000}{531} και το \frac{39062500}{281961} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961}=\frac{73577500}{281961}$$

Παραγον x^{2}-\frac{12500}{531}x+\frac{39062500}{281961}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6250}{531}\right)^{2}=\frac{73577500}{281961}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6250}{531}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73577500}{281961}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{6250}{531}=\frac{50\sqrt{29431}}{531} x-\frac{6250}{531}=-\frac{50\sqrt{29431}}{531}$$

Προσθέστε \frac{6250}{531} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{50\sqrt{29431}+6250}{531} x=\frac{6250-50\sqrt{29431}}{531}$$