Επίλυση (2019x)^2+2018*2020x=1

$$( 2019 x ) ^ { 2 } + 2018 \times 2020 x = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=\frac{1}{4076361}\approx 0,000000245$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αναπτύξτε το \left(2019x\right)^{2}.

$$2019^{2}x^{2}+2018\times 2020x=1$$

Υπολογίστε το 2019στη δύναμη του 2 και λάβετε 4076361.

$$4076361x^{2}+2018\times 2020x=1$$

Πολλαπλασιάστε 2018 και 2020 για να λάβετε 4076360.

$$4076361x^{2}+4076360x=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$4076361x^{2}+4076360x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4076361x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4076360 ab=4076361\left(-1\right)=-4076361$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4076361.

$$-1,4076361 -3,1358787 -9,452929 -673,6057 -2019,2019$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+4076361=4076360 -3+1358787=1358784 -9+452929=452920 -673+6057=5384 -2019+2019=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4076360.

$$a=-1 b=4076361$$

Γράψτε πάλι το 4076361x^{2}+4076360x-1 ως \left(4076361x^{2}-x\right)+\left(4076361x-1\right).

$$\left(4076361x^{2}-x\right)+\left(4076361x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 4076361x^{2}-x.

$$x\left(4076361x-1\right)+4076361x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4076361x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4076361x-1\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4076361x-1=0 και x+1=0.

$$x=\frac{1}{4076361} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αναπτύξτε το \left(2019x\right)^{2}.

$$2019^{2}x^{2}+2018\times 2020x=1$$

Υπολογίστε το 2019στη δύναμη του 2 και λάβετε 4076361.

$$4076361x^{2}+2018\times 2020x=1$$

Πολλαπλασιάστε 2018 και 2020 για να λάβετε 4076360.

$$4076361x^{2}+4076360x=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$4076361x^{2}+4076360x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4076361, το b με 4076360 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4076360±\sqrt{4076360^{2}-4\times 4076361\left(-1\right)}}{2\times 4076361}$$

Υψώστε το 4076360 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4076360±\sqrt{16616710849600-4\times 4076361\left(-1\right)}}{2\times 4076361}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4076361.

$$x=\frac{-4076360±\sqrt{16616710849600-16305444\left(-1\right)}}{2\times 4076361}$$

Πολλαπλασιάστε το -16305444 επί -1.

$$x=\frac{-4076360±\sqrt{16616710849600+16305444}}{2\times 4076361}$$

Προσθέστε το 16616710849600 και το 16305444.

$$x=\frac{-4076360±\sqrt{16616727155044}}{2\times 4076361}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16616727155044.

$$x=\frac{-4076360±4076362}{2\times 4076361}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4076361.

$$x=\frac{-4076360±4076362}{8152722}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4076360±4076362}{8152722} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4076360 και το 4076362.

$$x=\frac{2}{8152722}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{8152722} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{4076361}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4076360±4076362}{8152722} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4076362 από -4076360.

$$x=-\frac{8152722}{8152722}$$

Διαιρέστε το -8152722 με το 8152722.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{4076361} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αναπτύξτε το \left(2019x\right)^{2}.

$$2019^{2}x^{2}+2018\times 2020x=1$$

Υπολογίστε το 2019στη δύναμη του 2 και λάβετε 4076361.

$$4076361x^{2}+2018\times 2020x=1$$

Πολλαπλασιάστε 2018 και 2020 για να λάβετε 4076360.

$$4076361x^{2}+4076360x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4076361.

$$\frac{4076361x^{2}+4076360x}{4076361}=\frac{1}{4076361}$$

Η διαίρεση με το 4076361 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4076361.

$$x^{2}+\frac{4076360}{4076361}x=\frac{1}{4076361}$$

Διαιρέστε το \frac{4076360}{4076361}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2038180}{4076361}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2038180}{4076361} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4076360}{4076361}x+\left(\frac{2038180}{4076361}\right)^{2}=\frac{1}{4076361}+\left(\frac{2038180}{4076361}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2038180}{4076361} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4076360}{4076361}x+\frac{4154177712400}{16616719002321}=\frac{1}{4076361}+\frac{4154177712400}{16616719002321}$$

Προσθέστε το \frac{1}{4076361} και το \frac{4154177712400}{16616719002321} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4076360}{4076361}x+\frac{4154177712400}{16616719002321}=\frac{4154181788761}{16616719002321}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4076360}{4076361}x+\frac{4154177712400}{16616719002321}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2038180}{4076361}\right)^{2}=\frac{4154181788761}{16616719002321}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2038180}{4076361}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4154181788761}{16616719002321}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2038180}{4076361}=\frac{2038181}{4076361} x+\frac{2038180}{4076361}=-\frac{2038181}{4076361}$$

Αφαιρέστε \frac{2038180}{4076361} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{4076361} x=-1$$