Επίλυση (2x-3)(4x-2)-x(2x-3)=0

$$( 2 x - 3 ) ( 4 x - 2 ) - x ( 2 x - 3 ) = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-3 με το 4x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8x^{2}-16x+6-x\left(2x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 2x-3.

$$8x^{2}-16x+6-\left(2x^{2}-3x\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x^{2}-3x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$8x^{2}-16x+6-2x^{2}+3x=0$$

Συνδυάστε το 8x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-16x+6+3x=0$$

Συνδυάστε το -16x και το 3x για να λάβετε -13x.

$$6x^{2}-13x+6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=6\times 6=36$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-9 b=-4$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-13x+6 ως \left(6x^{2}-9x\right)+\left(-4x+6\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(-4x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(2x-3\right)-2\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(3x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-3=0 και 3x-2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-3 με το 4x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8x^{2}-16x+6-x\left(2x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 2x-3.

$$8x^{2}-16x+6-\left(2x^{2}-3x\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x^{2}-3x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$8x^{2}-16x+6-2x^{2}+3x=0$$

Συνδυάστε το 8x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-16x+6+3x=0$$

Συνδυάστε το -16x και το 3x για να λάβετε -13x.

$$6x^{2}-13x+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -13 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-24\times 6}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-144}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 169 και το -144.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±5}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -13 είναι 13.

$$x=\frac{13±5}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{13±5}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±5}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 13 και το 5.

$$x=\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±5}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 13.

$$x=\frac{8}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-3 με το 4x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8x^{2}-16x+6-x\left(2x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 2x-3.

$$8x^{2}-16x+6-\left(2x^{2}-3x\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x^{2}-3x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$8x^{2}-16x+6-2x^{2}+3x=0$$

Συνδυάστε το 8x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-16x+6+3x=0$$

Συνδυάστε το -16x και το 3x για να λάβετε -13x.

$$6x^{2}-13x+6=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$6x^{2}-13x=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-13x}{6}=-\frac{6}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το -6 με το 6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-1$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=-1+\frac{169}{144}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{169}{144}.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{25}{144}$$

Παραγον x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{5}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}$$

Προσθέστε \frac{13}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{2}{3}$$