Επίλυση (2x^2+x)^2-6x^2-3x+2=0

$$( 2 x ^ { 2 } + x ) ^ { 2 } - 6 x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}\approx 0,780776406$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\approx -1,280776406$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-1$$

Βήματα λύσης

Απλοποιήστε.

$$4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 2 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 4. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-1$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το 4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2 με το x+1 για να λάβετε 4x^{3}-5x+2. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$4x^{3}-5x+2=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 2 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 4. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=\frac{1}{2}$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το 4x^{3}-5x+2 με το 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 για να λάβετε 2x^{2}+x-2. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$2x^{2}+x-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 2 για a, 1 για b και -2 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}$$

Επιλύστε την εξίσωση 2x^{2}+x-2=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=-1 x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$