Επίλυση (2x+5)^2=(x+2)^2

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } = ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=-3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Συνδυάστε το 20x και το -4x για να λάβετε 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 25 για να λάβετε 21.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=3\times 21=63$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 63.

$$1,63 3,21 7,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=7 b=9$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+16x+21 ως \left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right).

$$\left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x+7\right)+3\left(3x+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+7\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+7=0 και x+3=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Συνδυάστε το 20x και το -4x για να λάβετε 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 25 για να λάβετε 21.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 16 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 21}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 21.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-252}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 256 και το -252.

$$x=\frac{-16±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-16±2}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-16±2}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±2}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 2.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±2}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από -16.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Διαιρέστε το -18 με το 6.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Συνδυάστε το 20x και το -4x για να λάβετε 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+16x=4-25$$

Αφαιρέστε 25 από 4 για να λάβετε -21.

$$3x^{2}+16x=-21$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=-\frac{21}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-\frac{21}{3}$$

Διαιρέστε το -21 με το 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-7$$

Διαιρέστε το \frac{16}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{8}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{8}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=-7+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{8}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-7+\frac{64}{9}$$

Προσθέστε το -7 και το \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{1}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{8}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$