Επίλυση (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Συνδυάστε το 4x και το 10x για να λάβετε 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Αφαιρέστε 25 από 1 για να λάβετε -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=-4 b=18$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+14x-24 ως \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-4=0 και x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Συνδυάστε το 4x και το 10x για να λάβετε 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Αφαιρέστε 25 από 1 για να λάβετε -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 14 και το c με -24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 196 και το 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±22}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -14 και το 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±22}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 22 από -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Διαιρέστε το -36 με το 6.

$$x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Συνδυάστε το 4x και το 10x για να λάβετε 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Αφαιρέστε 1 από 25 για να λάβετε 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Διαιρέστε το 24 με το 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Διαιρέστε το \frac{14}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Προσθέστε το 8 και το \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$