Επίλυση (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Λύση ως προς k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Αφαιρέστε 12 από 9 για να λάβετε -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Συνδυάστε το -12k και το 8k για να λάβετε -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 4 για a, -4 για b και -3 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Επιλύστε την εξίσωση k=\frac{4±8}{8} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα k-\frac{3}{2} και k+\frac{1}{2} πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το k-\frac{3}{2} είναι θετικό και το k+\frac{1}{2} είναι αρνητικό.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε k.

$$k\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το k+\frac{1}{2} είναι θετικό και το k-\frac{3}{2} είναι αρνητικό.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$