Επίλυση (1+y^2)dx=(tan^-1y-x)dy

$$( 1 + y ^ { 2 } ) d x = ( \tan ^ { - 1 } y - x ) d y$$

Λύση ως προς d (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{C}\text{, }&x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{ and }y\neq \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{ and }y\neq \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\end{matrix}\right,$$

Βήματα για την επίλυση γραμμικής εξίσωσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1+y^{2} με το d.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το d+y^{2}d με το x.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το \arctan(y)-x με το d.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το \arctan(y)d-xd με το y.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Αφαιρέστε \arctan(y)dy και από τις δύο πλευρές.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy=-xdy$$

Προσθήκη xdy και στις δύο πλευρές.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy+xdy=0$$

Αναδιατάξτε τους όρους.

$$-dy\arctan(y)+dxy^{2}+dxy+dx=0$$

Συνδυάστε όλους τους όρους που περιέχουν d.

$$\left(-y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x\right)d=0$$

Διαιρέστε το 0 με το -y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x.

$$d=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{, }&y\neq \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{ and }y\neq \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\\x\in \mathrm{C}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$

Βήματα για την επίλυση γραμμικής εξίσωσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1+y^{2} με το d.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το d+y^{2}d με το x.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το \arctan(y)-x με το d.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το \arctan(y)d-xd με το y.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Προσθήκη xdy και στις δύο πλευρές.

$$dx+y^{2}dx+xdy=\arctan(y)dy$$

Συνδυάστε όλους τους όρους που περιέχουν x.

$$\left(d+y^{2}d+dy\right)x=\arctan(y)dy$$

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή.

$$\left(dy^{2}+dy+d\right)x=dy\arctan(y)$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με d+y^{2}d+dy.

$$\frac{\left(dy^{2}+dy+d\right)x}{dy^{2}+dy+d}=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Η διαίρεση με το d+y^{2}d+dy αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το d+y^{2}d+dy.

$$x=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Διαιρέστε το \arctan(y)dy με το d+y^{2}d+dy.

$$x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}$$

Λύση ως προς d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\end{matrix}\right,$$

Βήματα για την επίλυση γραμμικής εξίσωσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1+y^{2} με το d.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το d+y^{2}d με το x.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το \arctan(y)-x με το d.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το \arctan(y)d-xd με το y.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Αφαιρέστε \arctan(y)dy και από τις δύο πλευρές.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy=-xdy$$

Προσθήκη xdy και στις δύο πλευρές.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy+xdy=0$$

Αναδιατάξτε τους όρους.

$$-dy\arctan(y)+dxy^{2}+dxy+dx=0$$

Συνδυάστε όλους τους όρους που περιέχουν d.

$$\left(-y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x\right)d=0$$

Διαιρέστε το 0 με το -y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x.

$$d=0$$

Λύση ως προς x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$

Βήματα για την επίλυση γραμμικής εξίσωσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1+y^{2} με το d.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το d+y^{2}d με το x.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το \arctan(y)-x με το d.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το \arctan(y)d-xd με το y.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Προσθήκη xdy και στις δύο πλευρές.

$$dx+y^{2}dx+xdy=\arctan(y)dy$$

Συνδυάστε όλους τους όρους που περιέχουν x.

$$\left(d+y^{2}d+dy\right)x=\arctan(y)dy$$

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή.

$$\left(dy^{2}+dy+d\right)x=dy\arctan(y)$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με d+y^{2}d+dy.

$$\frac{\left(dy^{2}+dy+d\right)x}{dy^{2}+dy+d}=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Η διαίρεση με το d+y^{2}d+dy αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το d+y^{2}d+dy.

$$x=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Διαιρέστε το \arctan(y)dy με το d+y^{2}d+dy.

$$x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}$$