Επίλυση x^2+3x+9=0

$${ x }^{ 2 } +3x+9=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}\approx -1,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1,5-2,598076211i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+3x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 3 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9}}{2}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36}}{2}$$

Προσθέστε το 9 και το -36.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-27}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -27.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3i\sqrt{3} από -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+3x+9-9=-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+3x=-9$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-9+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-9+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το -9 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{27}{4}$$

Παραγον x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$