Επίλυση x^2+18x+77=0

$${ x }^{ 2 } +18x+77=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-11$$

$$x=-7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+18x+77 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=18 ab=77$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 77.

$$1,77 7,11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+77=78 7+11=18$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 18.

$$a=7 b=11$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+7\right)\left(x+11\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+7=0 και x+11=0.

$$x=-7 x=-11$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+77. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=18 ab=1\times 77=77$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 77.

$$1,77 7,11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+77=78 7+11=18$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 18.

$$a=7 b=11$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+18x+77 ως \left(x^{2}+7x\right)+\left(11x+77\right).

$$\left(x^{2}+7x\right)+\left(11x+77\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 11 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+7\right)+11\left(x+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+7\right)\left(x+11\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+7=0 και x+11=0.

$$x=-7 x=-11$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+18x+77=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 18 και το c με 77 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 77}}{2}$$

Υψώστε το 18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 77}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 77.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-308}}{2}$$

Προσθέστε το 324 και το -308.

$$x=\frac{-18±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-18±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -18 και το 4.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το -14 με το 2.

$$x=-7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -18.

$$x=-\frac{22}{2}$$

Διαιρέστε το -22 με το 2.

$$x=-11$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-7 x=-11$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+18x+77=0$$

Αφαιρέστε 77 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+18x+77-77=-77$$

Η αφαίρεση του 77 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+18x=-77$$

Διαιρέστε το 18, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 9. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+18x+9^{2}=-77+9^{2}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+18x+81=-77+81$$

Προσθέστε το -77 και το 81.

$$x^{2}+18x+81=4$$

Παραγον x^{2}+18x+81. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x+9=2 x+9=-2$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-7 x=-11$$