Επίλυση x^2+11x+28=0

$${ x }^{ 2 } +11x+28=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-7$$

$$x=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+11x+28 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=28$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=4 b=7$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+4=0 και x+7=0.

$$x=-4 x=-7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+28. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=1\times 28=28$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=4 b=7$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+11x+28 ως \left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+4\right)+7\left(x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+4=0 και x+7=0.

$$x=-4 x=-7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+11x+28=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 11 και το c με 28 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 28}}{2}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 28.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-112}}{2}$$

Προσθέστε το 121 και το -112.

$$x=\frac{-11±\sqrt{9}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-11±3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±3}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 3.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$x=-4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±3}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -11.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το -14 με το 2.

$$x=-7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-4 x=-7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+11x+28=0$$

Αφαιρέστε 28 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+11x+28-28=-28$$

Η αφαίρεση του 28 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+11x=-28$$

Διαιρέστε το 11, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{11}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{11}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Προσθέστε το -28 και το \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον x^{2}+11x+\frac{121}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{11}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-4 x=-7$$