Επίλυση left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Συνδυάστε το 2x και το 4x για να λάβετε 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Συνδυάστε το 6x και το -x για να λάβετε 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Αφαιρέστε 12 από 5 για να λάβετε -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -14.

$$-1,14 -2,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-2 b=7$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+5x-7 ως \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Συνδυάστε το 2x και το 4x για να λάβετε 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Συνδυάστε το 6x και το -x για να λάβετε 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Αφαιρέστε 12 από 5 για να λάβετε -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 5 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 25 και το 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±9}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Διαιρέστε το 4 με το 4.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±9}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Συνδυάστε το 2x και το 4x για να λάβετε 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Συνδυάστε το 6x και το -x για να λάβετε 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Αφαιρέστε 5 από 12 για να λάβετε 7.

$$2x^{2}+5x=7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Προσθέστε το \frac{7}{2} και το \frac{25}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$