Επίλυση sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -7 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x^{2}+2x+9}στη δύναμη του 2 και λάβετε x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Αφαιρέστε 28x και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Συνδυάστε το 2x και το -28x για να λάβετε -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Αφαιρέστε 49 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Αφαιρέστε 49 από 9 για να λάβετε -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx-40. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -26.

$$a=-6 b=-20$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}-26x-40 ως \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 20 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x-2=0 και 3x+20=0.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Αντικαταστήστε το x με -2 στην εξίσωση \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-4=-4$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{20}{3} στην εξίσωση \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-\frac{20}{3} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

Η εξίσωση \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-2$$