Επίλυση sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Λύση ως προς x

$$x=9$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{13-x} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+7}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{13-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Προσθέστε 4 και 13 για να λάβετε 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Αφαιρέστε 17-x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 17-x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Αφαιρέστε 17 από 7 για να λάβετε -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Συνδυάστε το x και το x για να λάβετε 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{13-x}στη δύναμη του 2 και λάβετε 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 16 με το 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Αφαιρέστε 208 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Αφαιρέστε 208 από 100 για να λάβετε -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Προσθήκη 16x και στις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Συνδυάστε το -40x και το 16x για να λάβετε -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-27. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -27.

$$1,-27 3,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -6.

$$a=-9 b=3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-6x-27 ως \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-9=0 και x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Αντικαταστήστε το x με 9 στην εξίσωση \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=9 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Αντικαταστήστε το x με -3 στην εξίσωση \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-3 δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-2=2$$

Αντικαταστήστε το x με 9 στην εξίσωση \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=9 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Η εξίσωση \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=9$$