Επίλυση sqrt{6+sqrt{x+4}}=sqrt{2x-1}

$$\sqrt { 6 + \sqrt { x + 4 } } = \sqrt { 2 x - 1 }$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{x+4}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{6+\sqrt{x+4}}στη δύναμη του 2 και λάβετε 6+\sqrt{x+4}.

$$6+\sqrt{x+4}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-1.

$$6+\sqrt{x+4}=2x-1$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x+4}=2x-1-6$$

Αφαιρέστε 6 από -1 για να λάβετε -7.

$$\sqrt{x+4}=2x-7$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+4}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+4.

$$x+4=\left(2x-7\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-7\right)^{2}.

$$x+4=4x^{2}-28x+49$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x+4-4x^{2}=-28x+49$$

Προσθήκη 28x και στις δύο πλευρές.

$$x+4-4x^{2}+28x=49$$

Συνδυάστε το x και το 28x για να λάβετε 29x.

$$29x+4-4x^{2}=49$$

Αφαιρέστε 49 και από τις δύο πλευρές.

$$29x+4-4x^{2}-49=0$$

Αφαιρέστε 49 από 4 για να λάβετε -45.

$$29x-45-4x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-4x^{2}+29x-45=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -4x^{2}+ax+bx-45. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=29 ab=-4\left(-45\right)=180$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 29.

$$a=20 b=9$$

Γράψτε πάλι το -4x^{2}+29x-45 ως \left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο -9 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(-x+5\right)-9\left(-x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+5\right)\left(4x-9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+5=0 και 4x-9=0.

$$x=5 x=\frac{9}{4}$$

Αντικαταστήστε το x με 5 στην εξίσωση \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{9}{4} στην εξίσωση \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{\frac{9}{4}+4}}=\sqrt{2\times \frac{9}{4}-1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{9}{4} δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\frac{1}{2}\times 34^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 14^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με 5 στην εξίσωση \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Η εξίσωση \sqrt{\sqrt{x+4}+6}=\sqrt{2x-1} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=5$$