Επίλυση sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}=2

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } = 2$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

$$x=1$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{x-1} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x-1}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{3x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 3x+1.

$$3x+1=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-1.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+x-1$$

Αφαιρέστε 1 από 4 για να λάβετε 3.

$$3x+1=3+4\sqrt{x-1}+x$$

Αφαιρέστε 3+x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x+1-\left(3+x\right)=4\sqrt{x-1}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3+x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$3x+1-3-x=4\sqrt{x-1}$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$3x-2-x=4\sqrt{x-1}$$

Συνδυάστε το 3x και το -x για να λάβετε 2x.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 16 με το x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Αφαιρέστε 16x και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

Συνδυάστε το -8x και το -16x για να λάβετε -24x.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

Προσθέστε 4 και 16 για να λάβετε 20.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-5 b=-1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-6x+5 ως \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-5=0 και x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Αντικαταστήστε το x με 5 στην εξίσωση \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Αντικαταστήστε το x με 1 στην εξίσωση \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}=2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2.

$$x=5 x=1$$